Euler y el número e

Hoy hace 229 años que Euler murió en Rusia y a modo de recuerdo vamos a hablar hoy un poquito del número e y las finanzas, que es otro tema que está muy de moda con esto de la crisis económica.

Supongamos que tenemos un euro y que lo invertimos a un año con un interés del 100%. En éste caso nuestro euro al acabar de comernos las uvas se habrá convertido en dos euros. Si ahora consideramos que nuestra inversión tiene la mitad de interés (50%) pero que se paga cada 6 meses entonces a mitad de año tendremos 1+0.5 euros que invertimos de nuevo y obtenemos, tras comernos las uvas (1+0.5)(1+0.5)=(1+0.5)^2. Ahora supongamos que dividimos el tiempo tanto como queramos y vamos invirtiendo de nuevo lo que obtenemos, entonces, nuestra inversión se calcula como (1+\frac{1}{n})^n y se aproxima a 2,7182. ¿Os suena éste número o la expresión? Pues debería, ¡es el límite que define el número e que se estudia en bachiller! (al menos yo lo hice…)

–Nota: Sí, ya lo sabemos, esta entrada es una birria y además muy corta… Peeeeero prometemos escribir (al menos una y con suerte dos entradas) sobre Euler y el problema de Basilea para el Carnaval de Matemáticas que organiza esta vez ZTFNews. Y si queréis leer alguna curiosidad más sobre el número e para ir abriendo boca podéis empezar por la Wikipedia que tiene un artículo listando muchas de ellas.

Uno de los grandes de España aunque no fuese noble

Estoy hablando de Emilio Herrera. ¿No lo conocéis? Hasta esta semana yo tampoco. Y eso que es uno de los matemáticos importantes españoles. ¡Hasta fue amigo de Albert Einstein y vicepresidente de la RSME!. Mi amigo Pablo comenzó a hablarme de él y a contarme lo que había hecho y me parece una cosa tan genial como para escribir esta entrada (que es la primera entrada con tintes biográficos de esta bitácora).

Este señor era ingeniero del ejército y trabajó junto a Juan de la Cierva o a Leonardo Torres Quevedo (éste último fue matemático). La calidad de sus colaboradores ya nos indica su buen nivel (Juan de la Cierva inventó el autogiro y Leonardo Torres Quevedo el primer aparato controlado por radio). Que además de ser un gran ingeniero era extraordinario a otros niveles nos lo indica el hecho de que, antes de unirse a la República, pidiese al rey Alfonso XIII que le liberase de su juramento de fidelidad.

En lo científico su logro más importante es el diseño de un traje precursor de los trajes espaciales (cito de aquí):

Cuando la primera nave pisó el suelo de la Luna, Neil Armstrong recordó a Herrera, según relataría el español Manuel Casajust Rodríguez: “Me dijo que de no ser por el invento de mi maestro nunca habría llegado a la Luna”, explicó el discípulo a su regreso a España desde Cabo Cañaveral, donde Armstrong le regaló en señal de gratitud una de las rocas cosechadas en la superficie lunar durante su viaje.

Según refirió su ayudante, el piloto Antonio García Borrajo: “Cuando los norteamericanos le ofrecieron a Herrera trabajar para su programa espacial con un cheque sin limitaciones en ceros, él pidió que una bandera española ondeara en la Luna, pero le dijeron que sólo ondearía la de Estados Unidos”. Herrera rechazó la oferta.

Cuando Franco ganó la guerra civil se exilió fuera de España y vivió de sus patentes y colaborando con instituciones extranjeras como la Academia de Ciencias francesa o la UNESCO. Y para acabar de rematar su trayectoria ¡hasta fue presidente del gobierno republicano en el exilio!

Espero que os haya parecido un tipo tan genial como a mi mismo.

–Nota: La foto que ilustra esta entrada la he sacado de aquí.

–Nota 2: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Física en su edición XXXIV que organiza Hablando de Ciencia.

Gotas vibrantes y aliasing.

Hace tiempo realicé un proyecto para la universidad en el que estudiabamos (más bien observabamos) las vibraciones de una gota de agua. Estas vibraciones eran muy rápidas, así que nos tuvimos que servir de un fenómeno llamado “aliasing” para observarlas.

El tema (la forma de gotas de agua sobre superficies) es interesante sobre todo en lo referente al diseño de materiales hidrófobos (aka, que no se mojan) o hidrófilos (aka, que se empapan rápidamente). Una de las características importantes es el ángulo de contacto que forma la superficie de una de estas gotas de agua con la superficie plana del material, que depende de una cantidad que se llama “energía superficial”.

Una superficie con una baja “energía superficial” tenderá a formar gotas redonditas, mientras que una con mayor energía superficial esparcirá la gota.

Gota formando un gran ángulo de contacto

Cuando la energía superficial del material es baja (o hay "poca afinidad"), el líquido tiende a formar gotas redondas

Gota desparramada en una superficie con alta energía superficial

Si la energía superficial es alta, no obstante, el líquido tiende a "desparramarse", y el ángulo de incidencia de la gota con la superficie es muy bajo

Estas gotas tienen una superficie “bien definida” cuando están en reposo, pero cuando vibran lo hacen como la superficie de un tambor: cuando produce sonidos, la superficie resuena en diversos “modos”, dependiendo de la frecuencia a la que suene. Para frecuencias específicas, esos modos son “limpios”, y son llamados “modos normales” de vibración. Estos modos normales dependen, fundamentalmente, de la geometría, aunque las frecuencias a las que se encuentran dependen también del material.

En el siguiente video, podemos ver qué es lo que ocurre cuando hacemos vibrar una placa cuadrada con un altavoz. Las vibraciones producidas por el altavoz hacen que la placa intente subir y bajar, pero al igual que una cuerda no sube y baja de manera constante cuando la agitamos, la placa produce “ondas” en la superficie cuyos nodos pueden verse con los granos blancos.


En nuestro estudio (o más bien, observación), nos limitamos a poner una/s gota/s de agua coloreada sobre unas cintas de teflon (las mismas que se utilizan para aislar las juntas en las tuberías). Estas cintas estaban sujetas a un altavoz, de modo que las vibraciones producidas por el altavoz (conectado a un generador de frecuencias y un amplificador) se transmitían a la gota, que a su vez intentaba subir y bajar al unísono con las tiras.

Diagrama del experimento

Una gota de agua está apoyada sobre unas cintas de teflón sujetas a un altavoz. Las vibraciones del altavoz provocan vibraciones en la gota.

Usualmente, cuando científicos realizan este estudio, cuentan con cámaras ultrarrápidas que pueden grabar varias decenas o centenares de miles de fotogramas por segundo (fps), permitiéndoles captar cada instante del movimiento. No obstante, nosotros no contábamos con este material, y a simple vista no se puede discernir nada de lo que está ocurriendo, pues las vibraciones producidas en la superficie de la gota son demasiado rápidas para el ojo humano (que puede distinguir, aproximadamente 25 fps).

Sin embargo, uno podría ser capaz de observar esas vibraciones sirviéndose de un “truco” llamado aliasing.

El teorema de Nyquist-Shannon nos dice que para obtener la información completa de una señal periodica necesitamos muestrearla a, al menos,  a una frecuencia que sea el doble de la mayor frecuencia del sistema.

Esto quiere decir lo siguiente: si quieremos ver algo que se mueve muy rápido de manera completa, necesitamos “muestrear” (mirar) más rápido de lo que la señal cambia. De otro modo, podríamos “confundir” la señal con otra de menor frecuencia en lo que se llama “aliasing“.

Podemos ver esto cuando observamos una rueda que está girando cada vez más rápido. Llega un punto, cuando va muy deprisa, que parece que las llantas se van parando hasta quedarse “inmóviles” a nuestros ojos. Si se acelera un poco más, las llantas parecen girar en sentido contrario.

Pues bien, podemos jugar con estas frecuencias para reducir de manera efectiva la velocidad a la que vemos suceder los acontecimientos y observar estas vibraciones periodicas que, de otra manera, serían demasiado rápidas. Para ello, lo único que necesitamos es una fuente de luz a la que podamos variar la frecuencia, como un estroboscopio o una lámpara con un disco giratorio de velocidad ajustable con agujeros para que pase la luz a intervalos regulares de tiempo. En morvalets tenéis una entrada que explica este fenómeno de manera bastante clara.

Así pues, sin más dilación, os dejo con el video que tomamos con una simple webcam.

(Advertencia! El video es extremadamente largo, pero aunque hay algunas anotaciones, merece especial mención el rato a partir del momento 1:05:45.)

Análisis de datos: Perfiles de linea en Python

Como físico experimental, una de las tareas que tengo que hacer día sí, día también, es análisis de datos. Y a menos que sea una cuenta corta (multiplicación, división, …), usualmente uno utiliza el ordenador para esta tarea.

Hace poco escribí un programita en Python para obtener perfiles de linea – esto es, secciones – de una imágen. Como me parece un programa simple y bastante útil quería compartirlo con el resto del mundo.

Peeeero, además de escribiros el código (que está al final), quería comentar de pasada el por qué y el cómo se representan imágenes.

Continue reading

Las “singulares” ecuaciones de los fluidos

Recientemente ha salido en Arxiv un artículo, de Thomas Hou y Zhen Lei, donde prueban singularidades para un modelo de las ecuaciones de Euler incompresibles tridimensionales. Este no es uno de los problemas del milenio, pero está íntimamente relacionado con uno de ellos. Me refiero al problema de la existencia de singularidades en las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles.

Las ecuaciones de Euler incompresibles representan las velocidades de un fluido incompresible y no viscoso. Podemos pensar en agua. Las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles representan las velocidades de un fluido incompresible y viscoso. Por lo tanto están más cerca de captar la realidad.

Veamos este video:

Durante los primeros segundos salen en pantalla un par de recipientes con dos fluidos distintos. Pues bien, las ecuaciones de Euler son una aproximación correcta al fluido de la izquierda, mientras que no lo son para el de la derecha debido a la enorme viscosidad que tiene. En este otro vídeo vemos otro efecto de la viscosidad: el fluido verde se “pega” al fondo del vaso.

Ahora bien, ¿qué significa que haya una singularidad en las ecuaciones de Euler? Bueno, estas ecuaciones (en el caso de un fluido homogéneo) son:

a) la conservación de momento: (3 ecuaciones)

b) la condición de incompresibilidad: (1 ecuación)

donde \nabla=(\partial_{x},\partial_y,\partial_z) y \vec{u}=(u_1,u_2,u_3).

Viendo que el operador \nabla y \partial_t son derivadas un primer significado de la ecuación está claro: un campo de vectores \vec{u} es solución de las ecuaciones de Euler incompresibles cuando sus derivadas satisfacen las ecuaciones anteriores en cada punto (x,y,z) del espacio para todo tiempo t.

Así, diremos que hay una singularidad cuando alguna o varias de estas derivadas no exista para algún punto del espacio (x,y,z) en algún tiempo tPor ejemplo, podemos pensar en la función |x| que no tiene derivada en el punto x=0.

Pues bien, la existencia de singularidades (o su inexistencia) es un tema central desde el punto de vista matemático y físico porque es crucial a la hora de derivar el modelo. Es decir, si no hubiese una solución para todo tiempo entonces es que las hipótesis de las que se derivan las ecuaciones NO se satisfacen y, por lo tanto, las ecuaciones no tienen sentido físico. Visto así, casi es un alivio, porque, o sabemos resolver las ecuaciones para todo tiempo o no tenemos que hacerlo.

Para acabar con esta entrada voy a dejar un enlace a una entrada previa sobre el resultado de Ángel Castro, Diego Córdoba, Charles Fefferman, Francisco Gancedo y Javier Gómez sobre las singularidades en las olas (observad que el agua en una ola sigue las ecuaciones de Euler). Estas singularidades en la superficie no son del mismo tipo de las comentadas en la entrada y por eso no las mencionamos más.

Probablemente, si saco algo de tiempo, escribiré alguna entrada sobre el modelo de Euler más sencillo que conozco, la ecuación de Burgers.

Nota: Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas en su edición 3.141, que organiza el blog Desequilibrios.

¿Goles? No, ecuaciones

Para los que sigan la liga los goles de Cristiano Ronaldo serán geniales, pero para los que sigan la liga y además sepan de física sus goles, además de extraordinarios, parecen ser una consecuencia más del “efecto Magnus“. Yo, que ni sigo los goles ni sé de física, no tenía ni idea de lo que era el “efecto Magnus” has que hace unos días aparecieron dos periodistas de la agencia EFE en el CSIC para preguntar a qué era debido que CR7 marque esos golazos.

He dicho que los goles “parecen ser” consecuencia del efecto Magnus porque hay división de opiniones (pero la parte final del debate me la he perdido al subirme a mi despacho).

El susodicho efecto Magnus lo que viene a ser es una diferencia de presiones inducida por el giro de la pelota en el fluido. Veamos ésto un poco más despacio. Primero tenemos que la pelota gira en el fluido, por lo tanto, la velocidad “aparente” para la pelota (es decir, en el sistema de referencia de la pelota) la velocidad del viento es mayor por un lado que por otro. Esto es así porque la pelota al girar “empuja” el aire colindante, y la mitad de la bola va a favor del viento y la otra mitad en contra.

Una vez que tenemos la diferencia de velocidades, vamos a usar la Ley de Bernoulli. Si asumimos válida esta ley entonces una diferencia de velocidades se traduce en una diferencia de presiones. Y esta diferencia de presiones redunda en una diferencia neta de fuerzas que hace que la pelota trace una curva y, con un poco de suerte, sorprenda al portero.

–Nota: ¿Creéis que si en el CSIC nos dedicamos a estudiar cómo golpean el balón los diferentes futbolistas dejarán de recortar en ciencia?

–Nota 2: Ésta explicación que he dado yo es mala y torpe en comparación con la que nos ha dado Daniel Peralta en el CSIC.

Cuernos, mentiras y matemáticas por Fernando Jiménez

En la tragedia de Shakespeare Otelo, el homónimo protagonista, general de la república de Venecia, se enamora de Desdémona, hija de un senador. Después de casarse en secreto, uno de sus alféreces, Yago, movido por el odio que siente hacia él le hace creer que su esposa es infiel con Casio, su más leal teniente. Podrido de celos, Otelo mata a Desdémona y, después de saber que todo ha sido un engaño, se suicida.

Alexander Pushkin, considerado unánimemente padre de la literatura rusa moderna, poeta consagrado, mujeriego desenfrenado, endeudado crónico, adicto al juego, odiado por la aristocracia a la que pertenecía por nacimiento pero no por ideología, contrajo matrimonio en 1831 con la bella Natalia Goncharova. Georges d’Antès, un militar francés emigrado a Rusia y casado con una cuñada de Pushkin, comenzó a asediar a Natalia, encendiendo unos irrefrenables y paradójicos celos en su libertino marido. El escritor ruso retó al oficial francés a duelo, siendo herido de muerte a las afueras de San Petesburgo la madrugada del 29 de enero de 1837.

Estos son dos célebres ejemplos de lo que un hombre despechado, tanto en el mundo real como en el de la ficción, puede llegar a hacer presa de un galopante ataque de cuernos. Los hombres de ciencia tampoco son inmunes a los celos. Ni siquiera a los celos ficticios, lo que ha dado lugar a una de las leyendas urbanas más extrañas de la historia de la ciencia y de sus más famosos premios.

Alfred Nobel fue un ingeniero e inventor sueco, nacido en una familia de profesionales del gremio. Emigrados a Rusia, Alfred, junto a sus hermanos, recibió una cuidadosa educación tanto en ciencias naturales como en humanidades. De regreso a Suecia tras la quiebra de la fábrica de explosivos que su padre había instalado en San Petesburgo, completó sus investigaciones en el campo de los explosivos, lo que dio lugar al descubrimiento de la dinamita. El hallazgo le reportó una gran fortuna y, a la vez, un gigantesco dolor moral: si bien la dinamita facilitaba la vida en algunos aspectos, también acababa con ella en los campos de batalla. Cerca de su muerte fundó la sociedad filantrópica Nobel, a la que legó la mayor parte de su fortuna y que quedó encargada de, cada año, premiar a quienes más notoriamente hubieran aportado a la humanidad en las áreas de Física, Química, Medicina, Literatura y paz mundial: habían nacido los prestigiosos premios Nobel. ¿Quedó algo de herencia para su esposa? Debemos decir que no puesto que, a pesar de que Alfred Nobel tuvo varias amantes y amores a lo largo de su vida (la condesa austro-bohemia Bertha Kinsky, la austriaca Sofie Hess…), jamás se casó. Aquí tenemos uno de los ingredientes de la posterior maledicencia.

Si nos fijamos en la lista de las disciplinas que Alfred Nobel consideró dignas de ser premiadas vemos que las Matemáticas están ausentes. ¿Por qué no existe el premio Nobel de Matemáticas? La leyenda dice que cuando Alfred Nobel pidió consejo a especialistas para saber quién merecería cada uno de los galardones, éstos le dijeron que el candidato ideal en la categoría sería el matemático sueco Gösta Mittag-Leffer, quien, según las malas lenguas mantenía un romance secreto con su esposa. ¡¡Imposible!! La rivalidad entre Nobel y Mittag-Leffer, tanto en la vida civil como en la amorosa, es un extraño producto de los agujeros en los conductos de la información: al parecer apenas se conocían el uno al otro.

El verdadero motivo por el no existe el premio Nobel de Matemáticas es que su fundador, a la hora de idearlos, no consideró esta disciplina relevante para la sociedad en un sentido práctico (lo que, ha quedado bastante patente a lo largo de la historia, es completamente falso), esa sociedad a la que, según su conciencia, tanto daño había hecho con su explosivo invento.

A pesar de la notoria ausencia, los premios Nobel no están vetados para los matemáticos. Ejemplos son el norteamericano John Nash, que recibió el de Economía en 1994 por sus trabajos en el estudio del equilibrio en la teoría de juegos no cooperativos, y el español José Echegaray, que recibió en 1904 el de Literatura por su obra dramática.

Pero si de galardonar se trata, las ciencias matemáticas no se quedan atrás. El vacío dejado por el inventor sueco rápidamente fue llenado por la Unión Matemática Internacional, que cada cuatro años otorga la prestigiosísima medalla Fields a matemáticos que hayan logrado su descubrimiento cumbre por debajo de los cuarenta años. En la lista de galardonados está la mayoría las más grandes luminarias en Matemáticas del siglo XX (y ya parte del XXI). Por otro lado nos encontramos con el premio Wolf, que se concede anualmente desde 1978 en Israel a científicos y artistas por sus logros en interés de la humanidad y de las relaciones fraternas entre los pueblos, sin distinción de raza, color, religión, sexo o tendencias políticas. El grado de brillantez de los premiados en la categoría de Matemáticas no es menor que en la Fields, apareciendo, además, aquellos que no fueron tan precoces o que lograron su descubrimiento en el umbral de los cuarenta años, como ocurrió con Andrew Wiles y su prueba del último teorema de Fermat. Finalmente, los matemáticos también optan al premio Abel, otorgado anualmente por el rey de Noruega desde 2002 en claro paralelismo con el premio Nobel.

–Nota: Esta entrada la ha escrito Fernando Jiménez. Y es que si tenemos buenos compañeros de trabajo, habrá que aprovecharlos ¿no?

Integradores variacionales (Marca ACME) por Fernando Jiménez

Una de las mayores desgracias que sufren los matemáticos, físicos, ingenieros y otros científicos que se ocupan de estudiar la naturaleza desde un punto de vista cuantitativo, es la de no saber resolver (en algunos casos) las ecuaciones diferenciales que esa misma naturaleza, con un poco de mala leche, les plantea. Probablemente esta afirmación no es la mejor publicidad para la ciencia y quienes la practican (… ¡que no saben resolver las ecuaciones!…, pensarán algunos imaginándose un avión en caída libre) aunque, quizá, la dificultad de encontrar dichas soluciones en términos de funciones elementales les proporcione cierto cuartelillo. De hecho, ese cuartelillo no tarda en llegar cuando se presentan ciertos antecedentes al gran público. La reacción de la hermana filóloga de un amigo que se dedica a la física de cuerdas viene bastante al caso: ¡pero cómo van a encontrar la solución!, ¿acaso has visto sus hojas? -le dijo a su madre, mientras discutíamos todos juntos el asunto, refiriéndose a las notas de su hermano. La solución analítica de las ecuaciones diferenciales es por tanto como un ciervo blanco. Pero, ¿quién la necesita cuando se puede encontrar una buena aproximación?

El Análisis es la rama de las matemáticas que se encarga, entre otras cosas, de demostrar que la solución de las ecuaciones diferenciales existe (lo que, aunque los científicos aplicados no lo crean, resulta un gran alivio), mientras que el Análisis Numérico, entre otras cosas, se ocupa de encontrar aproximaciones de esas esquivas soluciones, que llamaremos integradores, y de estudiar sus propiedades.  Las ecuaciones de la física clásica tienen carácter diferencial y se obtienen a partir de la acción de un sistema dado (integral de la función lagrangiana) a partir de principios variacionales (para entradas anteriores sobre este tema ver aquí, aquí o aquí). Se puede probar la existencia de las soluciones a dichas ecuaciones, aunque en muchos casos, sobre todo en los más complejos (que suelen coincidir con los de mayor interés práctico) no sabemos encontrarlas. ¿Debemos encogernos en un rincón y ponernos a llorar? ¡Ni mucho menos! Como se menciona antes, el Análisis Numérico nos echa una mano con sus integradores.

Por otro lado, desde la mitad del siglo pasado se han introducido métodos topológicos y geométricos en el estudio de las ecuaciones diferenciales, en especial de aquellas que provienen de la física y que están relacionadas con sistemas mecánicos (desde los más simples, como puede ser un péndulo o una bolita deslizándose plano abajo, hasta los más complejos, como puede ser el Sistema Solar). Este nuevo campo de investigación que reformula la Mecánica Clásica en lenguaje geométrico se llama actualmente Mecánica Geométrica, y nos enseña interesantes propiedades de las soluciones a las ecuaciones mecánicas. Habitualmente, estas propiedades están relacionadas con la preservación de alguna cantidad geométrica. Ejemplos son la forma simpléctica, cuyo nombre asusta pero que está conectada de una forma más pedestre con el volumen del sistema bajo estudio, o las aplicaciones momento, inquietantes objetos en íntima relación con la simetría de las funciones lagrangiana o hamiltoniana y que nos dan información sobre los invariantes del sistema y parte de su comportamiento (por ejemplo, el hecho de que las órbitas de los planetas estén contenidas en un plano puede explicarse de forma sencilla diciendo que el momento angular de dicho planeta se conserva). El concepto de simetría tiene gran importancia en las matemáticas y física modernas, sobre todo a nivel cuántico. Su vínculo con la preservación de cantidades geométricas, cantidades que en algunos casos tienen una interpretación física reconocible, se encapsula en uno de los hitos más importantes de las matemáticas del siglo XX: el teorema de Noether.

Todo lo anterior está perfectamente formalizado cuando pensamos en las soluciones exactas a las ecuaciones diferenciales (que sabemos que existen). A nivel práctico… ¿qué pasa cuando no sabemos encontrarlas? ¿Nos echamos a llorar de nuevo? ¿Tienen nuestros útiles integradores las mismas propiedades? ¿Preservan a nivel numérico las mismas cantidades que sus contrapartes exactas preservan a nivel continuo? El área de las matemáticas que se encarga de responder a estas preguntas a nivel geométrico es la Mecánica Discreta, área relativamente moderna y en plena ebullición. La respuesta suele ser positiva, bajo ciertas condiciones, lo que nos ofrece una bonita simetría especular entre el mundo de las soluciones exactas y el mundo de los integradores. ¿Hay alguna forma variacional de obtener dichos integradores, tal y como ocurre con las ecuaciones continuas de la física? De nuevo la respuesta es sí, lo que da lugar a uno de los objetos más interesantes y más prácticos dentro de la Mecánica Discreta: los integradores variacionales. La última pregunta suele ser la más peliaguda: ¿son realmente mejores, en algún sentido, los integradores con propiedades geométricos que aquéllos que no las tienen? Pensándolo fríamente, a la hora de simular un sistema mediante un integrador, lo que uno pretende es que dicho integrador sea eficiente, robusto, preciso (es decir, que se aproxime a la solución exacta lo máximo posible) y que sea fácil de traducir en algoritmos comprensibles por un ordenador. Bajo estas consideraciones se puede decir que los integradores geométricos, en concreto los variacionales, no son mejores ni peores que los demás. Lo que sí se comprueba es que algunos de ellos, en concreto los que preservan la forma simpléctica, presentan gran robustez cuando se hacen simulaciones a tiempos largos (son simplécticos, por ejemplo, los integradores empleados en las simulaciones del Sistema Solar).

Lo que sí se puede concluir en cualquier caso, es que tanto el Análisis Numérico como cualquiera de sus estribaciones geométricas, ya sea en forma de Integración Geométrica o Mecánica Discreta, no son áreas menores de las matemáticas o una forma humilde de capitular ante la incapacidad de encontrar soluciones analíticas a ciertas ecuaciones. Todo lo contrario, son ramas poderosas, intrigantes y de gran utilidad práctica, que nos proporcionan lo que la mayoría de las veces resulta más inteligente: una forma de encontrar una solución alternativa y aproximada a un problema demasiado difícil. O en otras palabras: una forma de avanzar en lugar de quedarse paralizado.

–Nota: Esta entrada la ha escrito Fernando Jiménez.

La importancia del orden

No nos referimos al (des)orden imperante en nuestras casas… Hablamos del orden de los términos de una serie. Y es que un resultado muy llamativo es que una serie, digamos \sum_{n=0}^\infty a_n convergente que no sea absolutamente convergente (es decir, tiene términos positivos y negativos y cumple que \sum_{n=0}^\infty |a_n|=\infty) si se reordena ¡¡se puede hacer que sume cualquier número!!

Teorema: Sea \sum_{n=0}^\infty a_n una serie tan que \sum_{n=0}^\infty a_n<\infty\sum_{n=0}^\infty |a_n|=\infty. Entonces para todo A\in\mathbb{R} se tiene que existe g(n) tan que \sum_{n=0}^\infty a_{g(n)}=A.

¿Cómo podemos probar un resultado tan raruno? Bueno, veamos la idea, supongamos que A=\pi para fijar ideas. Dado que este mes ha sido el día de \pi esta elección tiene su gracia ;). Ahora sumemos términos positivos de la serie hasta exceder el valor de \pi. Ahora sumemos términos de signo negativo hasta que la suma parcial sea menor que \pi. Ahora volvemos a sumar términos positivos hasta exceder \pi y así sucesivamente. No diréis que no es ingenioso y llamativo.

–Nota 1: Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas del mes de Marzo. Ésta vez ha sido organizado por Hablando de Ciencia

Euler y el problema de Basilea: La convergencia de la serie

En una entrada anterior (ver aquí) os contamos cómo Jacob Bernoulli encaró el problema de Basilea, esto es, la suma de la serie

Estamos en 1730 o 1731 y es ahora cuando hace su aparición Leonhard Euler, con su artículo De summatione innumerabilium progressionum, publicado en 1738, donde utiliza un método nuevo para aproximar esta serie. Euler parte de la serie de potencias de

La divide por -x e integra entre 0 y 1/2, obteniendo


En el lado izquierdo de esta expresión hace la sustitución y = 1-x consiguiendo  y reparando en que

se obtiene


Cada uno de los sumandos se puede integrar por partes,

Agrupando de nuevo, se consigue

Podemos ahora sustituir la serie de potencias

con lo cual queda

Ahora, Euler desprecia el producto \log(1)\log(0) y procede igualando la expresión de la derecha con el valor que se ha conseguido de la integral de la izquierda mediante el proceso anterior. De este modo llega a

Con estos manejos poco rigurosos, Euler solucionó el problema de la baja velocidad de convergencia de la serie: gracias a las potencias de dos en el numerador, los términos de la nueva serie que ha obtenido decaen mucho más rápido, y en consecuencia la convergencia de la serie es mucho mejor. Además, Euler conocía el valor de \log(2) con una gran cantidad de cifras decimales, consiguiendo así una aproximación 1.644934 que es correcta en las seis cifras decimales con la suma de sólo catorce términos de la nueva serie.

–Nota 1: Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas del mes de Marzo. Ésta vez ha sido organizado por Hablando de Ciencia

–Nota 2: Para las imágenes con las fórmulas hemos usado el editor presente en esta web.

–Nota 3:  El texto anterior está basado en el artículo

Rafael Granero Belinchón, El problema de Basilea: Historia y algunas demostraciones. La Gaceta de la RSME, vol 12, num 4, pag 721-737, 2009.