Euler y el problema de Basilea: Productos infinitos (I)

El día 18 de Septiembre hizo 229 años de la muerte de Leonhard Euler (ya lo dijimos aquí), así que ¿qué mejor momento para continuar con la serie sobre el problema de Basilea? Ésta serie ya consta de dos entradas (ver aquí y aquí) contando un poco cómo se formula el problema y qué avances se han dado. Vamos a resumirlo un poquito.

El problema de Basilea es calcular la suma de la serie


Jacob Bernoulli fue capaz de probar que la serie efectivamente convergía, i.e. que la suma tiene un valor finito. Una vez que se sabe eso uno puede ir sumando términos a ver qué número va quedando. El problema es que la serie converge muy despacio y hay que sumar muchísimos términos para tener una cantidad aceptable de decimales. Y es aquí donde entra Euler al escribir una serie equivalente que converge mucho más rápido, de manera que hay que sumar menos términos para obtener los mismos decimales.

Veamos qué hizo Euler llegados a este punto. Tenemos que recordar que si tenemos un polinomio

cuyas raíces (reales) son

 entonces podemos escribir 

Con esto en mente observamos que

 tiene cómo raíces 

Así Euler escribe, usando la serie de Taylor,

de donde, si dividimos por x y suponemos que podemos usar la propiedad anterior de los polinomios para una serie de potencias, obtenemos

Ahora basta observar que (3) nos da que el coeficiente que acompaña a x^2 es

y ahora, igualando con (2), obtenemos el resultado

Éste resultado es correcto, pero tiene un enorme “pero”: el argumento es erróneo. No se puede hacer ese desarrollo como producto de las raíces para series. Por ejemplo podemos considerar

que, por tener las mismas raíces que el seno, ¡debería tener el mismo producto infinito! Esta prueba fue muy criticada por la comunidad y Euler siguió trabajando en desarrollos de productos infinitos para el seno de manera que pudiese acallar las quejas con una demostración completamente rigurosa y no sólo con un escueto “pues mi aproximación y el valor exacto que he calculado son iguales…”, pero eso lo dejaremos para otro día…

–Referencias:

Rafael Granero Belinchón, El problema de Basilea: Historia y algunas demostraciones. La Gaceta de la RSME, vol 12, num 4, pag 721-737, 2009.

E. Sandifer, Basel Problem with Integrals, MAA Online, 2004, disponible aquí.

Y aquí un conversor entre fórmulas de Latex e imágenes.

–Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas en su edición 26, organizado esta vez por ZTFNews.

La importancia del orden

No nos referimos al (des)orden imperante en nuestras casas… Hablamos del orden de los términos de una serie. Y es que un resultado muy llamativo es que una serie, digamos \sum_{n=0}^\infty a_n convergente que no sea absolutamente convergente (es decir, tiene términos positivos y negativos y cumple que \sum_{n=0}^\infty |a_n|=\infty) si se reordena ¡¡se puede hacer que sume cualquier número!!

Teorema: Sea \sum_{n=0}^\infty a_n una serie tan que \sum_{n=0}^\infty a_n<\infty\sum_{n=0}^\infty |a_n|=\infty. Entonces para todo A\in\mathbb{R} se tiene que existe g(n) tan que \sum_{n=0}^\infty a_{g(n)}=A.

¿Cómo podemos probar un resultado tan raruno? Bueno, veamos la idea, supongamos que A=\pi para fijar ideas. Dado que este mes ha sido el día de \pi esta elección tiene su gracia ;). Ahora sumemos términos positivos de la serie hasta exceder el valor de \pi. Ahora sumemos términos de signo negativo hasta que la suma parcial sea menor que \pi. Ahora volvemos a sumar términos positivos hasta exceder \pi y así sucesivamente. No diréis que no es ingenioso y llamativo.

–Nota 1: Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas del mes de Marzo. Ésta vez ha sido organizado por Hablando de Ciencia