No nos referimos al (des)orden imperante en nuestras casas… Hablamos del orden de los términos de una serie. Y es que un resultado muy llamativo es que una serie, digamos convergente que no sea absolutamente convergente (es decir, tiene términos positivos y negativos y cumple que ) si se reordena ¡¡se puede hacer que sume cualquier número!!
Teorema: Sea una serie tan que y . Entonces para todo se tiene que existe tan que
¿Cómo podemos probar un resultado tan raruno? Bueno, veamos la idea, supongamos que para fijar ideas. Dado que este mes ha sido el día de esta elección tiene su gracia ;). Ahora sumemos términos positivos de la serie hasta exceder el valor de . Ahora sumemos términos de signo negativo hasta que la suma parcial sea menor que . Ahora volvemos a sumar términos positivos hasta exceder y así sucesivamente. No diréis que no es ingenioso y llamativo.
–Nota 1: Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas del mes de Marzo. Ésta vez ha sido organizado por Hablando de Ciencia