Problemas de frontera “no-tan-libre”

Resulta que en el Instituto de Ciencias Matemáticas hay un “Working Pizza Seminar“, (además del enlace “oficial” aquí se puede ver el enlace al blog del ICMAT) es decir, un sitio donde se dan charlas informales sobre temas de investigación actual y, además, te dan pizza para comer, y hoy he torturado hablado yo.

He hablado un poco de las cosas que he estado haciendo estos casi 3 años que llevo con la tesis (ver las diapositivas aquí PizzaWorkingSeminar). Es decir, he tratado problemas de frontera libre que surgen en el movimiento de fluidos incompresibles en medios porosos inhomogéneos. Así, por ejemplo, he explicado entre otras cosas, cuándo este tipo de olas puede tener singularidades

Y también cuando es de esperar que no.

Además he comparado diversos modelos existentes. Por ejemplo he comparado el caso homogéneo con profundidad infinita con el caso homogéneo con profundidad finita (puede argumentarse que las fronteras del dominio serían zonas de permeabilidad nula y por lo tanto el problema sería inhomogéneo… pero dejémoslo estar)

También he comparado casos con distinta permeabilidad

Todos estos problemas son interesantes, por ejemplo, de cara a la obtención de energía. En efecto, si uno quiere extraer petróleo lo que se suele hacer es inyectar agua a presión de manera que ésta lo desplaza, expulsándolo (ver aquí). Otra fuente de energía, esta vez mucho menos conocida, es la energía geotérmica (ver aquí). Ahí típicamente se tiene una zona de permeabilidad altísima, una de permeabilidad más normal y ambas se encuentran acotadas por capas impermeables. Ahí se tiene que el agua está muy caliente debido al calor propio del núcleo de la Tierra y por lo tanto puede aprovecharse para obtener electricidad.

–Nota: La portada hay que agradecérsela a Elena Hontangas Martínez :-)

–Nota 2: Parece mentira la cantidad de cuadros que hay dedicados exclusivamente a las olas. Será la única cosa que tengan en común matemáticos y artistas en sus respectivos trabajos…

Problemas de frontera “no-tan-libre” en dinámica de fluidos: primeros pasos

Decía el señor Swett Marden que

“Un guijarro en el lecho de un pobre arroyuelo puede mudar el curso de un río”.

Parece una exageración y sin duda lo es, pero sirve para que nos hagamos la siguiente pregunta:

¿Cómo de importante es el lecho marino para las olas en la superficie?

Ésta es la pregunta que tratamos de contestar en este artículo. El problema que queremos entender es, dados dos fluidos incompresibles en un medio poroso acotado, ¿cómo se comporta la interfase entre ambos y que diferencias presenta con el caso en el que el medio no esta acotado? Bueno, vamos a trasladar ese problema físico a ecuaciones en derivadas parciales. Tenemos una densidad que presenta dos valores según estemos por encima o por debajo de la interfase, que denotamos por ,

Que los fluidos sean incompresibles y se muevan en un medio poroso acotado quiere decir que el dominio espacial de los fluidos es 

y que la velocidad satisface la Ley de Darcy y la condición de incompresibilidad

Estas ecuaciones se puede trasladar a una única ecuación para la interfase:

Ahora que tenemos el problema cabe preguntarnos si el hecho de que el dominio sea S y no \mathbb{R}^2 cambia mucho la situación. Para hacernos una idea podemos hacer unas simulaciones numéricas preliminares. Para ello consideramos un dato inicial y lo hacemos evolucionar en el caso donde el medio tiene profundidad finita (caso acotado) y también en el caso en el que el medio tiene una profundidad infinita (caso no acotado). Por supuesto el resto de los parámetros físicos son los mismos en ambas evoluciones. Así observamos lo siguiente

(Si no ves bien las imágenes pincha en ellas para hacerlas más grandes)

Parece claro a la vista de estos resultados que el hecho de que el medio esté acotado o no es relevante para las olas.

Una vez que tenemos el problema propuesto tenemos que empezar a sacar teoremas :-P. Evitando tecnicismos lo primero que probamos es

1) (Existencia y unicidad) que si el fluido de arriba es más ligero que el que está abajo el problema tiene una solución.

1.b) (Existencia y unicidad 2) que si el fluido de arriba es más pesado que el de abajo pero la interfase inicial es analítica existe una solución.

2) (Efecto regularizante) que dicha solución se vuelve muy regular (analítica) para cualquier t>0 (compárese con la ecuación del calor aquí.)

De momento estos 3 teoremas son idénticos en su enunciado a los teoremas cuando la profundidad es infinita. ¿Sorprendido? Bueno, esto sólo quiere decir que para probar matemáticamente las diferencias que hemos visto en los vídeos y las imágenes anteriores tenemos que trabajar un poco más, así que sed pacientes y esperad a la siguiente entrada ;-).

Bueno, si os veis muy impacientes podéis leer (o, en su caso, releer) ésta, ésta y esta entrada.

–Referencias:

D. Córdoba, RGB, R.Orive, The confined Muskat problem: differences with the deep water regime.

–Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas en su edición 26, organizado esta vez por ZTFNews.

–Nota 2: Con esta entrada participamos también en el Carnaval de Física en su edición XXXIV que organiza Hablando de Ciencia.

Saltamontes en los Pirineos o por qué un biólogo necesita las matemáticas

En esta entrada hacemos una breve revisión de un tema que nos parece muy interesante: el efecto que tiene la bacteria wolbachia en unas subespecies particulares de saltamontes, Chorthippus parallelus parallelus y Chorthippus parallelus erythropus. La distribución de estos animalejos se solapa en los Pirineos, donde forman una zona híbrida (ZH), es decir, una región donde individuos de las dos subespecies se encuentran, se cruzan y dan lugar a descendencia híbrida, en aquellos puntos en los que la orografía y sus requerimientos ecológicos lo permiten. Esta ZH responde a un contacto secundario entre poblaciones endémicas ibéricas (Cpe) y de la Europa continental (Cpp), que se expandieron después de la última glaciación desde aquellos refugios en los que habían divergido genéticamente en alopatría, esto es, especiación por aislamiento geográfico.

Las diferencias morfológicas, fisiológicas, genéticas y de comportamiento entre estas subespecies (y sus híbridos naturales y de laboratorio) han sido intensamente estudiadas en estos últimos años, por lo que esta ZH se considera un modelo singular en Biología Evolutiva (Bella et al., 2010). Estos estudios muestran un escenario complejo, con un número considerable de causas involucradas en el origen, estructura y mantenimiento de dicha ZH y ofrecen una muy buena panorámica de la evolución “en acción”. ¡Por esto es importante e interesante!

 Por otra parte, Wolbachia es una bacteria endosimbionte obligada (esto es, sin palabras de brujo, que vive exclusivamente en el interior de las células del insecto al que infecta) que induce alteraciones en la reproducción de diversos organismos, fundamentalmente artrópodos y nematodos. Esta bacteria induce, por ejemplo, feminización de los machos o incluso su muerte selectiva. También producen incompatibilidad citoplasmática que consiste en la incapacidad de un macho infectado de tener descendencia con una hembra que no esté infectada (Serbus et al., 2008). Esto condiciona los cruzamientos entre poblaciones infectadas en distintos grado por esta bacteria, lo que se ha planteado como un posible ejemplo de “especiación por infección” (Wade, 2001).

En estudios previos hemos profundizado en la Biología de este microrganismo y hemos comprobado que en la ZH de Chorthippus genera una barrera reproductiva considerable (Zabal-aguirre et al., 2010; Bella et al., 2010), lo que apunta a que, efectivamente, esta bacteria puede promover fenómenos de especiación.

Debido a su peculiar forma de transmisión, de madres a hijos, la dinámica de la infección por Wolbachia es compleja. A su vez la forma por la cual la infección pueda condicionar los cruzamientos que se producen en una población y sus repercusiones a largo plazo son dificiles de estudiar en el laboratorio. Más aun en condiciones naturales. Es por esto. que la infección por Wolbachia ha sido modelizada matemáticamente (¡aquí aparece la caballería!) con el fin de conocer hasta qué punto esta bacteria influye en las poblaciones a las que infecta (Turelli et al., 1994; Telschow et al., 2005; 2007; Vautrin et al., 2007). 

Bien, hasta aquí el tema y la historia que hay detrás, pero ¿qué hemos hecho nosotros? Pues hemos continuando con los estudios de Vautrin et al. (2007),  implementando una variante de este modelo para analizar (i) cómo podría evolucionar la infección por Wolbachia en una población modelo de Chorthippus parallelus y por otra parte (ii) cómo influirían algunas variables ambientales, por ejemplo la temperatura, en la dinámica de la infección. Nuestro modelo sigue el siguiente esquema 

Como nos está quedando un poco largo ya, vamos a concluir con la referencia del trabajo por si alguien está interesado en abundar más:

Wolbachia infection in Chorthippus parallelus: Intra-generational frequency variation, P. Martínez-Rodríguez, R. Granero-Belinchón, F Arroyo-Yebras y J.L. Bella. (aquí hay un poster sobre este tema).

Referencias:

  1. Bella JL, Martínez-Rodríguez P, Arroyo-Yebras F, Bernal A, Sarasa J, Fernández-Calvín B, Mason PL & Zabal-Aguirre M. 2010. Wolbachia infection in the Chorthippus parallelus hybrid zone: evidence for its role as a reproductive barrier. Journal of Orthoptera Research 19 (2): 205-212
  2. Hewitt G. 2000. The genetic legacy of the Quaternary ice ages. Nature 405, 907-913.
  3. Serbus LR, Casper-Lindley C, Landmann F, Sullivan, W. 2008. The genetics and cell biology of Wolbachia-host interactions. Annu Rev Genet 42: 683-707. 
  4. Telschow A, Flor M, Kobayashi Y, Hammerstein P, Werren JH. 2007. Wolbachia-induced unidirectional cytoplasmic incompatibility and speciation: mainland-island model. PLoS ONE Aug 8; 2(1):e701.
  5. Telschow A, Hammerstein P, Werren JH. 2005. The effects of Wolbachiaversus genetic incompatibilities on reinforcement and speciation. Evolution 59: 1607-1619.
  6. Vautrin E, Charles S, Genieys S, Vavre F. 2007. Evolution and invasion dynamics of multiple infections with Wolbachiainvestigated using matrix based models. J Theor Biol. 245(2):197-209.
  7. Wade MJ. 2001. Infectious speciation. Nature, 409: 675-677.
  8. Zabal-Aguirre M, Arroyo F & Bella JL. 2010. Distribution of Wolbachia infection of Chorthippus parallelus in populations within and beyond a Pyrenean hybrid zone. Heredity 104: 174–184.

–Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Biología en su décima edición organizado por Scientia y en el de Matemáticas, que organizamos nosotros.


Las matemáticas como ciencia experimental

Actualmente cuando uno piensa en problemas sin resolver en física piensa en la Teoría del Todo, en el bosón de Higgs o en los límites de validez de la mecánica cuántica. Sin embargo, existen problemas que son fáciles de entender que aún no tienen respuesta. Problemas que sólo involucran a la mecánica de Newton y que todavía no sabemos cómo atacar. Vamos a introducir el que nos ocupa con un experimento que puede ser fácilmente realizado en casa. Continue reading

Usando las Matemáticas en biología

Empezamos el año participando en la IX edición del Carnaval de Biología organizado por La Ciencia de la Vida. Corrientemente las personas que se dedican a la docencia tienen que oir la pregunta ¿pero esto para qué vale?. Esas preguntas normalmente se refieren a las matemáticas o la física. En esta nueva entrada en nuestro blog vamos a presentar brevemente una posible aplicación de las matemáticas, en este caso a la biología. Ni es la aplicación más útil ni la más interesante, pero es sencilla.