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La ecuación de Burgers

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En este blog sabéis que periódicamente ponemos entradas de física, o mejor aún, de cómo las matemáticas se utilizan para explicar cosas de física (ver por ejemplo ésta, ésta y ésta otra entrada). La que colgamos hoy es de esas. Además ésta estaba pendiente porque en una entrada sobre varios modelos de las ecuaciones de Euler dije que iba a escribir sobre la ecuación de Burgers. Pues bien, aquí está.

La ecuación de Burgers no viscosa (que toma su nombre de J.M. Burgers) se escribe de la siguiente manera

\partial_t u(x,t)+u(x,t)\partial_x u(x,t)=0,\;\; u(x,0)=f(x)\;\;\quad (1).

Se trata de una ecuación de primer orden no lineal y suele ser el primer ejemplo de ecuación no lineal que se pone en los libros de texto (para una lectura rápida sobre las propiedades de algunas ecuaciones en derivadas parciales sencillas leed esto). Se trata además de la primera ecuación que surge de manera natural cuando uno quiere entender las ecuaciones de Euler y también “refleja” (más o menos) el comportamiento de una ola (ver un artículo reciente sobre este tipo de ecuaciones aquí).

Si pasamos esquivando el cuestión de la existencia o no de solución para dicho problema (1) y directamente suponemos que existe tal solución y que además es una función “suave”, i.e., con tantas derivadas como nos hagan falta, podemos obtener una propiedad importante de manera muy sencilla. Supongamos que tenemos una solución u(x,t) que tiene, al menos, dos derivadas en x, y supongamos además que dicha solución se va muy rápido a cero cuando |x| se hace muy grande. Dicha solución tendrá un mínimo (o ínfimo), y un máximo (o supremo) y sus posiciones dependerán del tiempo. Como la función tiende a cero en el infinito estos valores se alcanzan (es decir, no son ínfimos/supremos). Denotemos el punto donde u(x,t) alcanza su mínimo como x_t y el punto donde u(x,t) alcanza su máximo como X_t. Por lo tanto, fijo t,

u(x_t,t)=\min_x \{u(x,t)\},

y

u(X_t,t)=\max_x \{u(x,t)\}.
En estos puntos la ecuación queda
\partial_t u(X_t,t)+u(X_t,t)\partial_x u(X_t,t)=\partial_t u(X_t,t)=0,

y

\partial_t u(x_t,t)+u(x_t,t)\partial_x u(x_t,t)=\partial_t u(x_t,t)=0,

y obtenemos que tanto el máximo como el mínimo del dato inicial se conservan,

\max_x u(x,t)=\max_x f(x),

y

\min_x u(x,t)=\min_x f(x).

Si ahora repetimos el argumento para la evolución de \min_x \partial_x u obtenemos, si x_t es el punto de mínimo, la siguiente ecuación

\partial_t \partial_x u(x_t,t)+(\partial_x u(x_t,t))^2=0.\quad (2)

Ahora observamos que (2) es una EDO que se puede resolver explícitamente (¿sabrías cómo hacerlo?)

y tenemos que, si 0<t=-\min_x \partial_x f(x), |\partial_x u(x_t,t)|=\infty.

Veamos unas simulaciones para entender bien lo que pasa aquí:

Esto es un ejemplo de singularidad. Tampoco debería sorprendernos, pues esta ecuación aparece relacionada con olas y parece reflejar el hecho de que las olas “rompen”.

¿Qué pasa si ahora añadimos una pequeña viscosidad con la forma de un laplaciano? (Esta difusión puede generalizarse, por ejemplo como en [2])

\partial_t u(x,t)+u(x,t)\partial_x u(x,t)=\nu \partial_x^2 u(x,t),\;\; u(x,0)=f(x)\;\;\quad (2).

Esta ecuación se conoce como Ecuación de Burgers viscosa y puede entenderse como un modelo (en realidad una caricatura) de la ecuación de Navier-Stokes. Bueno, ahora la cuenta anterior no es tan sencilla, porque el término difusivo, el laplaciano, tiene signo “bueno”, es decir, se opone a los crecimientos descontrolados como los que se veían en el vídeo anterior. De hecho, usando la transformación de Cole-Hopf (ver aquí) se puede ver que esta ecuación tiene existencia global para cualquier valor de \nu.

De esta manera, el vídeo ahora es

–Referencias:

1) Vincent Duchene, “Decoupled and unidirectional asymptotic models for the propagation of internal waves”, preprint Arxiv, http://arxiv.org/abs/1208.6394.

2) RGB y José Manuel Moreno, “La ecuación de Burgers como un paso previo al estudio de los fluidos incompresibles”, La Gaceta de la RSME, vol 15, num 3, pag, 489-512, 2012. ArXiv preprint http://arxiv.org/abs/1105.5990.

–Nota: Como lo de aproximar soluciones de EDPs es algo muy útil, dedicaremos una entrada próximamente a un método sencillo que produce muy buenos resultados.

Las “singulares” ecuaciones de los fluidos

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Recientemente ha salido en Arxiv un artículo, de Thomas Hou y Zhen Lei, donde prueban singularidades para un modelo de las ecuaciones de Euler incompresibles tridimensionales. Este no es uno de los problemas del milenio, pero está íntimamente relacionado con uno de ellos. Me refiero al problema de la existencia de singularidades en las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles.

Las ecuaciones de Euler incompresibles representan las velocidades de un fluido incompresible y no viscoso. Podemos pensar en agua. Las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles representan las velocidades de un fluido incompresible y viscoso. Por lo tanto están más cerca de captar la realidad.

Veamos este video:

Durante los primeros segundos salen en pantalla un par de recipientes con dos fluidos distintos. Pues bien, las ecuaciones de Euler son una aproximación correcta al fluido de la izquierda, mientras que no lo son para el de la derecha debido a la enorme viscosidad que tiene. En este otro vídeo vemos otro efecto de la viscosidad: el fluido verde se “pega” al fondo del vaso.

Ahora bien, ¿qué significa que haya una singularidad en las ecuaciones de Euler? Bueno, estas ecuaciones (en el caso de un fluido homogéneo) son:

a) la conservación de momento: (3 ecuaciones)

b) la condición de incompresibilidad: (1 ecuación)

donde \nabla=(\partial_{x},\partial_y,\partial_z) y \vec{u}=(u_1,u_2,u_3).

Viendo que el operador \nabla y \partial_t son derivadas un primer significado de la ecuación está claro: un campo de vectores \vec{u} es solución de las ecuaciones de Euler incompresibles cuando sus derivadas satisfacen las ecuaciones anteriores en cada punto (x,y,z) del espacio para todo tiempo t.

Así, diremos que hay una singularidad cuando alguna o varias de estas derivadas no exista para algún punto del espacio (x,y,z) en algún tiempo t. Por ejemplo, podemos pensar en la función |x| que no tiene derivada en el punto x=0.

Pues bien, la existencia de singularidades (o su inexistencia) es un tema central desde el punto de vista matemático y físico porque es crucial a la hora de derivar el modelo. Es decir, si no hubiese una solución para todo tiempo entonces es que las hipótesis de las que se derivan las ecuaciones NO se satisfacen y, por lo tanto, las ecuaciones no tienen sentido físico. Visto así, casi es un alivio, porque, o sabemos resolver las ecuaciones para todo tiempo o no tenemos que hacerlo.

Para acabar con esta entrada voy a dejar un enlace a una entrada previa sobre el resultado de Ángel Castro, Diego Córdoba, Charles Fefferman, Francisco Gancedo y Javier Gómez sobre las singularidades en las olas (observad que el agua en una ola sigue las ecuaciones de Euler). Estas singularidades en la superficie no son del mismo tipo de las comentadas en la entrada y por eso no las mencionamos más.

Probablemente, si saco algo de tiempo, escribiré alguna entrada sobre el modelo de Euler más sencillo que conozco, la ecuación de Burgers.

Nota: Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas en su edición 3.141, que organiza el blog Desequilibrios.