Resulta que en el Instituto de Ciencias Matemáticas hay un “Working Pizza Seminar“, (además del enlace “oficial” aquí se puede ver el enlace al blog del ICMAT) es decir, un sitio donde se dan charlas informales sobre temas de investigación actual y, además, te dan pizza para comer, y hoy he torturado hablado yo.
He hablado un poco de las cosas que he estado haciendo estos casi 3 años que llevo con la tesis (ver las diapositivas aquí PizzaWorkingSeminar). Es decir, he tratado problemas de frontera libre que surgen en el movimiento de fluidos incompresibles en medios porosos inhomogéneos. Así, por ejemplo, he explicado entre otras cosas, cuándo este tipo de olas puede tener singularidades
Y también cuando es de esperar que no.
Además he comparado diversos modelos existentes. Por ejemplo he comparado el caso homogéneo con profundidad infinita con el caso homogéneo con profundidad finita (puede argumentarse que las fronteras del dominio serían zonas de permeabilidad nula y por lo tanto el problema sería inhomogéneo… pero dejémoslo estar)
También he comparado casos con distinta permeabilidad
Todos estos problemas son interesantes, por ejemplo, de cara a la obtención de energía. En efecto, si uno quiere extraer petróleo lo que se suele hacer es inyectar agua a presión de manera que ésta lo desplaza, expulsándolo (ver aquí). Otra fuente de energía, esta vez mucho menos conocida, es la energía geotérmica (ver aquí). Ahí típicamente se tiene una zona de permeabilidad altísima, una de permeabilidad más normal y ambas se encuentran acotadas por capas impermeables. Ahí se tiene que el agua está muy caliente debido al calor propio del núcleo de la Tierra y por lo tanto puede aprovecharse para obtener electricidad.
–Nota: La portada hay que agradecérsela a Elena Hontangas Martínez 
–Nota 2: Parece mentira la cantidad de cuadros que hay dedicados exclusivamente a las olas. Será la única cosa que tengan en común matemáticos y artistas en sus respectivos trabajos…
es la ola inicial. En el caso de un medio acotado la amplitud evoluciona según
? Esta cantidad nos da una idea de cómo es la longitud de onda. Sabemos que en el caso donde el medio no está acotado se tiene que
entonces 
) que involucra no sólo a 
si no también a 
:
entonces 
y no 
cambia mucho la situación. Para hacernos una idea podemos hacer unas simulaciones numéricas preliminares. Para ello consideramos un dato inicial y lo hacemos evolucionar en el caso donde el medio tiene profundidad finita (caso acotado) y también en el caso en el que el medio tiene una profundidad infinita (caso no acotado). Por supuesto el resto de los parámetros físicos son los mismos en ambas evoluciones. Así observamos lo siguiente
(compárese con la ecuación del calor 
). En este caso podemos esperarlo si observamos que podemos ‘factorizar’ el operador como dos operadores de transporte 
(sistema físico).
es energía cinética, que depende de la velocidad 
; y 
es energía potencial, que depende del potencial 
en el lugar donde la particula se encuentra. Entonces se tiene, si la posición de la partícula se denota como 
, que el lagrangiano es
![A[x]=\int_0^t L(x)dt.](https://s0.wp.com/latex.php?latex=A%5Bx%5D%3D%5Cint_0%5Et+L%28x%29dt.&bg=T&fg=000000&s=0 "A[x]=\int_0^t L(x)dt.")
Esta acción la hemos obtenido de consideraciones físicas como son la definición de energía cinética y potencial.
tal que 
) de nuestra trayectoria 
como una función de 
,=\int_0^t L(y(t))dt](https://s0.wp.com/latex.php?latex=A%5By%5D%28s%29%3D%5Cint_0%5Et+L%28y%28t%29%29dt&bg=T&fg=000000&s=0 "A[y](s)=\int_0^t L(y(t))dt")
,
.\bigg{|}_{s=0}=\frac{d}{ds}\left(\int_0^t L(y(t))dt\right)\bigg{|}_{s=0}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bds%7DA%5By%5D%28s%29%5Cbigg%7B%7C%7D_%7Bs%3D0%7D%3D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bds%7D%5Cleft%28%5Cint_0%5Et+L%28y%28t%29%29dt%5Cright%29%5Cbigg%7B%7C%7D_%7Bs%3D0%7D&bg=T&fg=000000&s=0 "\frac{d}{ds}A[y](s)\bigg{|}_{s=0}=\frac{d}{ds}\left(\int_0^t L(y(t))dt\right)\bigg{|}_{s=0}")
(para el potencial)
(para la energía cinética).
y si integramos por partes en la primera integral nos queda
.
y 
,
una función no lineal, por ejemplo un polinomio. Así, el llamado Método Directo del Cálculo de Variaciones consiste en definir un funcional tal que sus puntos críticos vengan dados por la ecuación que era nuestro problema original.
cuyo módulo al cuadrado (que es un número real) nos dará la densidad de probabilidad de que un sistema se encuentre en un cierto estado.
, nos dará la probabilidad de que el sistema (en este caso, nuestro electrón) esté en una zona A del espacio.
, y esta es la madre del cordero.
.
donde C es cierta constante que podemos escribir explícitamente pero que hacerlo nos da una pereza superlativa por lo que lo dejamos ‘para el lector interesado’ ;). La constante es una ensalada de constante de Planck 
, 
, algún dos… Puede escribirse también involucrando sólo una función de onda de la misma manera que se hace con el funcional.
nos da una probabilidad, con función de densidad 
. Así observamos que en realidad el término 
es la 
(que asumimos tiene media x=0, es decir, que nuestro electrón está más o menos rondando el origen de coordenadas espaciales).
. Además, 