Problemas de frontera “no-tan-libre”

Resulta que en el Instituto de Ciencias Matemáticas hay un “Working Pizza Seminar“, (además del enlace “oficial” aquí se puede ver el enlace al blog del ICMAT) es decir, un sitio donde se dan charlas informales sobre temas de investigación actual y, además, te dan pizza para comer, y hoy he torturado hablado yo.

He hablado un poco de las cosas que he estado haciendo estos casi 3 años que llevo con la tesis (ver las diapositivas aquí PizzaWorkingSeminar). Es decir, he tratado problemas de frontera libre que surgen en el movimiento de fluidos incompresibles en medios porosos inhomogéneos. Así, por ejemplo, he explicado entre otras cosas, cuándo este tipo de olas puede tener singularidades

Y también cuando es de esperar que no.

Además he comparado diversos modelos existentes. Por ejemplo he comparado el caso homogéneo con profundidad infinita con el caso homogéneo con profundidad finita (puede argumentarse que las fronteras del dominio serían zonas de permeabilidad nula y por lo tanto el problema sería inhomogéneo… pero dejémoslo estar)

También he comparado casos con distinta permeabilidad

Todos estos problemas son interesantes, por ejemplo, de cara a la obtención de energía. En efecto, si uno quiere extraer petróleo lo que se suele hacer es inyectar agua a presión de manera que ésta lo desplaza, expulsándolo (ver aquí). Otra fuente de energía, esta vez mucho menos conocida, es la energía geotérmica (ver aquí). Ahí típicamente se tiene una zona de permeabilidad altísima, una de permeabilidad más normal y ambas se encuentran acotadas por capas impermeables. Ahí se tiene que el agua está muy caliente debido al calor propio del núcleo de la Tierra y por lo tanto puede aprovecharse para obtener electricidad.

–Nota: La portada hay que agradecérsela a Elena Hontangas Martínez :-)

–Nota 2: Parece mentira la cantidad de cuadros que hay dedicados exclusivamente a las olas. Será la única cosa que tengan en común matemáticos y artistas en sus respectivos trabajos…

Problemas de frontera “no-tan-libre” en dinámica de fluidos: las diferencias

En esta entrada tratamos de presentar de manera sencilla la siguiente pregunta

¿Cómo de importante es el lecho marino para las olas en la superficie?

Así tenemos que estudiar el problema de la evolución de la interfase entre dos fluidos cuando dichos fluidos se encuentran en un medio poroso acotado y, tras hacer unas simulaciones para ver por dónde iban los tiros, dimos los primeros pasos en el estudio matemático del problema. Sin embargo, pese a que en las simulaciones observamos grandes diferencias en los primeros resultados matemáticamente rigurosos no capturamos esos fenómenos.

La primera pregunta que nos hacemos es ¿cuál es la evolución de la amplitud máxima de la ola? Para ellos lo que hacemos es estudiar

Lo que conseguimos probar es

o, lo que es lo mismo, que la amplitud no puede crecer con el tiempo. Este resultado es idéntico al caso donde la profundidad es infinita. Sin embargo en las simulaciones habíamos visto que las diferencias a este nivel eran grandes:

Lo que ocurre es que la velocidad a la que cae la amplitud es distinta. En el caso de profundidad infinita tenemos

donde f_0(x)=f(x,0) es la ola inicial. En el caso de un medio acotado la amplitud evoluciona según

Así hemos obtenido la primera diferencia importante: la interfase en el caso de profundidad finita decae más despacio. 

Ahora cabe preguntarse ¿cómo evoluciona \max_x|\partial_x f(x,t)|? Esta cantidad nos da una idea de cómo es la longitud de onda. Sabemos que en el caso donde el medio no está acotado se tiene que

si \max_x|\partial_x f(x,0)|<1 entonces \max_x|\partial_x f(x,t)|<\max_x|\partial_x f(x,0)|\;\; \forall t>0.

En el caso de que el medio tenga profundidad finita tenemos una condición (razonablemente complicada y que escribiremos F) que involucra no sólo a \max_x|\partial_x f(x,0)| si no también a \max_x|f(x,0)|:

si F(\max_x|\partial_x f(x,0)|,\max_x|f(x,0)|)\leq 0 entonces \max_x|\partial_x f(x,t)|\leq\max_x|\partial_x f(x,0)|\;\; \forall t>0.

Una consecuencia de esto es que si esa condición se satisface y entonces tenemos una cota superior para \max_x|\partial_x f(x,t)| y por lo tanto la ola no puede romper.

Bueno, ahora que sabemos cuándo la interfase no rompe cabe preguntarse si hay alguna situación en la que la interfase rompa. Y efectivamente obtenemos que hay datos tales que pasa lo siguiente:

Es más, podemos probar mediante una prueba asistida con ordenador, que existen datos iniciales tales que sólo rompen cuando la profundidad es finita. Es decir, que el fondo ayuda a que las olas rompan. Y si bien hemos probado estos teoremas en el caso de fluidos moviéndose en un medio poroso estos dos últimos resultados se pueden probar gratis para el caso de las water waves, i.e. la interfase entre un fluido incompresible e irrotacional siguiendo las ecuaciones de Euler y el aire.

–Referencias:

D. Córdoba, RGB, R.Orive, The confined Muskat problem: differences with the deep water regime.

–Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas en su edición 26, organizado esta vez por ZTFNews.

–Nota 2: Con esta entrada participamos también en el Carnaval de Física en su edición XXXIV que organiza Hablando de Ciencia.

Problemas de frontera “no-tan-libre” en dinámica de fluidos: primeros pasos

Decía el señor Swett Marden que

“Un guijarro en el lecho de un pobre arroyuelo puede mudar el curso de un río”.

Parece una exageración y sin duda lo es, pero sirve para que nos hagamos la siguiente pregunta:

¿Cómo de importante es el lecho marino para las olas en la superficie?

Ésta es la pregunta que tratamos de contestar en este artículo. El problema que queremos entender es, dados dos fluidos incompresibles en un medio poroso acotado, ¿cómo se comporta la interfase entre ambos y que diferencias presenta con el caso en el que el medio no esta acotado? Bueno, vamos a trasladar ese problema físico a ecuaciones en derivadas parciales. Tenemos una densidad que presenta dos valores según estemos por encima o por debajo de la interfase, que denotamos por ,

Que los fluidos sean incompresibles y se muevan en un medio poroso acotado quiere decir que el dominio espacial de los fluidos es 

y que la velocidad satisface la Ley de Darcy y la condición de incompresibilidad

Estas ecuaciones se puede trasladar a una única ecuación para la interfase:

Ahora que tenemos el problema cabe preguntarnos si el hecho de que el dominio sea S y no \mathbb{R}^2 cambia mucho la situación. Para hacernos una idea podemos hacer unas simulaciones numéricas preliminares. Para ello consideramos un dato inicial y lo hacemos evolucionar en el caso donde el medio tiene profundidad finita (caso acotado) y también en el caso en el que el medio tiene una profundidad infinita (caso no acotado). Por supuesto el resto de los parámetros físicos son los mismos en ambas evoluciones. Así observamos lo siguiente

(Si no ves bien las imágenes pincha en ellas para hacerlas más grandes)

Parece claro a la vista de estos resultados que el hecho de que el medio esté acotado o no es relevante para las olas.

Una vez que tenemos el problema propuesto tenemos que empezar a sacar teoremas :-P. Evitando tecnicismos lo primero que probamos es

1) (Existencia y unicidad) que si el fluido de arriba es más ligero que el que está abajo el problema tiene una solución.

1.b) (Existencia y unicidad 2) que si el fluido de arriba es más pesado que el de abajo pero la interfase inicial es analítica existe una solución.

2) (Efecto regularizante) que dicha solución se vuelve muy regular (analítica) para cualquier t>0 (compárese con la ecuación del calor aquí.)

De momento estos 3 teoremas son idénticos en su enunciado a los teoremas cuando la profundidad es infinita. ¿Sorprendido? Bueno, esto sólo quiere decir que para probar matemáticamente las diferencias que hemos visto en los vídeos y las imágenes anteriores tenemos que trabajar un poco más, así que sed pacientes y esperad a la siguiente entrada ;-).

Bueno, si os veis muy impacientes podéis leer (o, en su caso, releer) ésta, ésta y esta entrada.

–Referencias:

D. Córdoba, RGB, R.Orive, The confined Muskat problem: differences with the deep water regime.

–Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas en su edición 26, organizado esta vez por ZTFNews.

–Nota 2: Con esta entrada participamos también en el Carnaval de Física en su edición XXXIV que organiza Hablando de Ciencia.

Las matemáticas como ciencia experimental

Actualmente cuando uno piensa en problemas sin resolver en física piensa en la Teoría del Todo, en el bosón de Higgs o en los límites de validez de la mecánica cuántica. Sin embargo, existen problemas que son fáciles de entender que aún no tienen respuesta. Problemas que sólo involucran a la mecánica de Newton y que todavía no sabemos cómo atacar. Vamos a introducir el que nos ocupa con un experimento que puede ser fácilmente realizado en casa. Continue reading

Resolviendo la ecuación de ondas…

Tradicionalmente los matemáticos que trabajamos en el área de ecuaciones en derivadas parciales estudiamos problemas que vienen de procesos físicos. Es el caso de la ecuación del calor, la ecuación de Poisson o la ecuación de ondas. En esta entrada vamos a exponer dos métodos para resolver la ecuación de ondas. Estos métodos al tener un planteamiento distinto dan una información distinta. Veremos así diferencias entre pensar en las ecuaciones sólo o pensar en el fenómeno que modelizan. La ecuacion de ondas es
\displaystyle\partial_t\partial_t u=\partial_x\partial_x u,
junto a dos valores iniciales (tiene dos derivadas en tiempo) y las condiciones de contorno, que aquí tomamos dirichlet homogéneas. Esta ecuación refleja la separación del equilibrio de la cuerda en tiempo t y en el punto x.
Jean Le Rond D’Alembert demostró que si consideramos toda la recta (es decir, sin contornos) entonces podemos escribir la solución como una superposición de ondas, una que viaja hacia la derecha y otra que viaja hacia la izquierda. Estas ondas se escriben en función de los valores iniciales. Podemos hacer lo mismo en dominios acotados o semi acotados, pero es más lío.
Esta aproximación es puramente teórica, muchas ecuaciones admiten solución en forma de onda viajera (por ejemplo la de Fisher-Kolmogorov, \partial_t u=\partial_x\partial_x u +u(1-u) ). En este caso podemos esperarlo si observamos que podemos ‘factorizar’ el operador como dos operadores de transporte   Continue reading

De cuerdas y tambores, o cómo la física aparece en un problema de matemáticas

Cualquier estudiante de física tiene claro o al menos intuye cómo aparecen las matemáticas al estudiar problemas de física. Hoy vamos a hablar de cómo aparece la física en un teorema abstracto de matemáticas. Continue reading

Las paradojas de la probabilidad

En esta nueva entrada de la serie de las paradojas (las primeras estradas son http://scientiapotentiaest.ambages.es/?p=244 y http://scientiapotentiaest.ambages.es/?p=266) nos vamos a centrar en las paradojas que vienen de la probabilidad. Y es que la probabilidad pese a ser algo bastante mencionado en la vida diaria no es entendida por mucha gente.

Voy a comenzar tratando el problema de Monty Hall. Este problema es muy divertido, porque todo el mundo al que se lo contemos dirá que es muy intuitivo. ¡El problema es que para cada uno será intuitiva una respuesta distinta!

Supongamos que estamos en un programa de estos de la tele. En este programa hay tres puertas. Una de las tres tiene un premio y las otras dos no tienen nada. La puerta que tiene el premio se elige al azar de manera equiprobable. El juego consiste en elegir una puerta. Tras nuestra elección, el presentador, que sabe dónde está el premio, abre una de las dos puertas que no hemos elegido y que no tiene nada. Tras esto nos pregunta si queremos cambiar de puerta. La pregunta viene ahora, ¿qué nos sale mejor como jugadores? ¿cambiar nuestra primera elección o dejarla estar?

Observamos que el premio no cambia de puerta mientras nosotros jugamos.

La respuesta correcta es que siempre nos sale mejor cambiar de puerta. Sí, amigos lectores, es mejor cambiar. ¿Qué no me creéis? Vamos a ver si os convenzo. Como el premio está en una de las puertas de manera equiprobable la probabilidad de que el premio se encuentre en la puerta que hemos elegido al comenzar a jugar es 1/3. Ahora el presentador abre una de las otras dos puertas sin descubrir el premio. ¿Cuál es la probabilidad de que nuestra puerta esconda el premio? LA MISMA, 1/3. Por lo tanto si cambiamos de puerta nuestra nueva elección tendrá probabilidad 2/3. Vamos a ilustrar esto un poco más mirando los posibles casos. Vamos a suponer que elegimos siempre la puerta 1, como todo es simétrico todos los casos estarán reflejados igualmente.

1) El coche está en la puerta 1.
1.a) Cambiamos de puerta y perdemos.
1.b) No cambiamos y ganamos.
2) El coche está en la puerta 2.
2.a) Cambiamos de puerta y ganamos.
2.b) No cambiamos y perdemos.
3) El coche está en la puerta 3.
3.a) Cambiamos de puerta y ganamos.
3.b) No cambiamos y perdemos.

Hagamos el recuento: Si cambiamos ganamos 2 veces frente a una que perdemos. Si no cambiamos la situación es recíproca. Como hay 3 casos posibles la probabilidad de ganar cambiando es 2/3.

Otra manera de convencerse es aumentar el número de puertas. Supongamos que tenemos 100 puertas. Entonces la probabilidad de que el premio esté en nuestra puerta es 1/100. Tras elegir, el presentador abre todas las puertas menos dos, la que tu elegiste y otra, de manera que ninguna de las abiertas mostrase el premio. Ahora parece claro que lo mejor es cambiar.

Otra paradoja que invariablemente se estudia en los cursos iniciales de probabilidad es la paradoja de los hijos (a falta de un nombre mejor en castellano). Supongamos que la probabilidad de que nazca un chico o una chica es la misma, 50%, y que el sexo de cada hijo es independiente del sexo de los demás hermanos. Vamos con el problema. La señora López tiene dos vástagos. Supongamos, a modo de calentamiento, que el hijo mayor de la señora López es un niño, ¿cuál es la probabilidad de que el menor sea niña? La respuesta, claro, es 50%. Ahora se nos plantea un problema ligeramente distinto: Supongamos que uno de los hijos de la señora López es niño, ¿cuál es la probabilidad de que el otro hijo también sea niño? ¿50%? Veamos los casos tal cuál está escrito (observando que la familia está fija para los más puntillosos) y ordenando los niños por edad:

1) Chico-chico
2) Chica-chico
3) Chico-chica

Hay 3 casos posibles y sólo 1 es el que nos preguntan. Como son equiprobables la probabilidad de que ambos hijos de la señora López sean niños es 1/3. El truco aquí está en que al decir que uno de los hijos es chico perdemos información sobre su edad. En la primera pregunta tenemos más información y podemos descartar más casos.

La probabilidad se va descubriendo un poco farragosa y “extraña” en ocasiones. Sin embargo todavía no hemos tratado la principal fuente de problemas al tratar con la probabilidad. Me refiero a la ambigüedad. Las palabras “al azar” no tienen un significado preciso y se usan con más asiduidad de la recomendable. Esto quedó claramente expuesto en la obra de J. Bertrand “Calcul des probabilités”. En este manual propuso un enunciado y dio varias respuestas al problema, todas bien lógicas y correctas. El problema era que en cada uno la definición de “al azar” era distinta. Es ahora cuando nos ponemos técnicos. En la entrada anterior ya mencionamos cosas como “medidas” de conjuntos (ver la entrada anterior). Eso nos volverá a ser útil, pues la manera matemática de dar sentido a las palabras “al azar” utiliza esas ideas. En matemáticas un “espacio de probabilidad” es un espacio de sucesos posibles en nuestro experimento, una manera de agruparlos en conjuntos y una manera de “medir la probabilidad” cada uno de estos conjuntos de sucesos. Claro está que la definición precisa es mucho más técnica. Así la idea que quiero dejaros es que esas tres cosas abstractas es lo que da sentido a la palabra “azar”.

El ejemplo que más me gusta de esto es la paradoja de Bertrand. Consideremos un círculo con un triángulo equilatero inscrito. La pregunta ahora es ¿cuál es la probabilidad de que una cuerda trazada “al azar” sea más larga que los lados del triángulo? Veamos las tres maneras clásicas de calcular dicha probabilidad:

1) Supongamos, sin pérdida de generalidad, que uno de los extremos de la cuerda coincide con uno de los vértices del triángulo. En ese caso al quedar la circunferencia dividida en 3 trozos iguales y coincidir uno con el conjunto donde la cuerda es más larga que el lado del triángulo concluimos que la probabilidad pedida es 1/3. Aquí el espacio de sucesos es el conjunto de puntos de la circunferencia y la medida de probabilidad asociada es la longitud del arco considerado dividido la longitud total de la circunferencia.

2) Consideremos ahora un radio perpendicular a uno de los lados del triángulo. Esto de nuevo nos facilita la vida pero no perdemos generalidad. Ahora trazamos la cuerda de manera perpendicular a dicho radio por un punto aleatorio del mismo. La probabilidad de que la cuerda sea mas larga que el lado es justamente 1/2 si la trazamos con estas reglas. Aquí el espacio de sucesos es el conjunto de puntos del radio y la medida de probabilidad es la longitud del segmento considerado dividido por la longitud total.

3) Ahora nuestro experimento consiste en elegir el punto medio de la cuerda. Si trazamos la cuerda con esta regla la probabilidad de que la longitud de la cuerda sea mayor que la del lado del triángulo es la misma que la probabilidad de que el punto medio de la cuerda esté en un círculo concentrico inscrito en el triángulo de radio la mitad (y área 1/4 del área del círculo original). Por lo tanto la probabilidad será 1/4. Aquí el espacio de sucesos es el conjunto de puntos del círculo y la medida de probabilidad es el área del conjunto de puntos considerado dividido entre el área del círculo original.

La paradoja aquí estriba en que para una pregunta tenemos tres respuestas. Además, eligiendo la definición de “azar” todas son correctas.

Creo que ha quedado claro que cuando decimos cosas como “aleatorio” o “al azar” no estamos en realidad diciendo nada y que debemos entrar, aunque no queramos, en tecnicismos para evitar este tipo de paradojas.

— Nota: Las imágenes han sido obtenidas de la Wikipedia en inglés

— Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas en su edición 2.6 (albergado por “La vaca esférica” , http://lavacaesferica.com/).

Introducción al cálculo variacional en las matemáticas

Esta entrada es la gemela de la entrada Introducción al cálculo variacional en la física (http://scientiapotentiaest.ambages.es/?p=87). En ella David nos decía

Queremos saber qué camino tomará un cuerpo en una cierta situación. Imaginemos que tenemos una cantidad (un funcional, matemáticamente hablando), a la que llamaremos acción (con unidades de energía por segundo), que depende del “camino” que ese cuerpo toma en su movimiento. Esa acción puede ser calculada para cada cualquier camino siempre y cuando tenga una cierta regularidad.  Pues bien, el camino real, el que tomará el cuerpo y que podrá ser predicho, es aquel que hace de la acción un mínimo (más rigurosamente, un valor estacionario).

Así, el enfoque en mecánica clásica es: dado un sistema físico, obtenemos un funcional; a este funcional se le calculan los puntos críticos y esos puntos críticos nos dan las soluciones del problema. Matemáticamente esto es ir del funcional a la ecuación diferencial.

Veamos esto con un ejemplo: Supongamos que tenemos una partícula de masa unidad bajo el influjo de un potencial U(x) (sistema físico).

Entonces el Lagrangiano se define como

L=E_c-E_p

donde E_c=\frac{1}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 es energía cinética, que depende de la velocidad v=\frac{dx}{dt};  y E_p es energía potencial, que depende del potencial U en el lugar donde la particula se encuentra. Entonces se tiene, si la posición de la partícula se denota como x, que el lagrangiano es

L(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2-U(x).

Ahora definimos la acción como A[x]=\int_0^t L(x)dt. Esta acción la hemos obtenido de consideraciones físicas como son la definición de energía cinética y potencial.

Una vez tenemos la acción, queremos minimizarla. Para esto hemos de encontrar los puntos críticos. Si fuese una función de una variable normal y corriente derivaríamos e igualaríamos a 0. Derivar es encontrar el cambio de una cantidad cuando se varía otra de manera infinitesimal. Aquí la idea es similar. Lo que hacemos es, dada una perturbación con los extremos fijos (v(t) tal que v(0)=v(t)=0) de nuestra trayectoria x consideramos la curva y(t)= x(t)+sv(t).

Ahora pensamos la acción para esta nueva curva y como una función de s,

A[y](s)=\int_0^t L(y(t))dt,

y obtenemos el cambio en ella cuando variamos ligeramente s; esto es, derivamos en s y hacemos s=0.

\frac{d}{ds}A[y](s)\bigg{|}_{s=0}=\frac{d}{ds}\left(\int_0^t L(y(t))dt\right)\bigg{|}_{s=0}

Calculamos, utilizando la regla de la cadena,

L(y)=\frac{1}{2}\left(\frac{dx}{dt}+s\frac{dv}{dt}\right)^2-U(x+sv),

\frac{d}{ds}U(x+sv)\bigg{|}_{s=0}=U'(x)v, (para el potencial)

\frac{d}{ds}\frac{1}{2}\left(\frac{dx}{dt}+s\frac{dv}{dt}\right)^2\bigg{|}_{s=0}=\frac{dx}{dt}\frac{dv}{dt}, (para la energía cinética).

Sustituyendo obtenemos \int_0^t \frac{dx}{dt}\frac{dv}{dt} dt-\int_0^t U'(x)vdt, y si integramos por partes en la primera integral nos queda

\int_0^t (-\frac{d^2x}{dt^2}-U'(x))vdt.

Esta integral debe ser 0 para que nuestra x sea un punto crítico del funcional, y además debe serlo para toda perturbación v.

Estas consideraciones nos imponen una relación entre las derivadas \frac{d^2x}{dt^2} y U'(x),

\frac{d^2x}{dt^2}+U'(x)=0

que es, nada más y nada menos, la segunda ley de Newton.

Este enfoque va desde el funcional, que se obtiene con consideraciones físicas, a la ecuación diferencial. O de otra manera, se usa una ecuación diferencial para solucionar un problema de minimizar un funcional.

Sin embargo también existe el método inverso. Supongamos que tenemos una ecuación diferencial (generalmente en derivadas parciales) como puede ser

\Delta u= f(u)

con f una función no lineal, por ejemplo un polinomio. Así, el llamado Método Directo del Cálculo de Variaciones consiste en definir un funcional tal que sus puntos críticos vengan dados por la ecuación que era nuestro problema original.

Demostrar la existencia de solución para la ecuación original es lo mismo que conseguir un punto crítico de nuestro funcional. Si además probamos que es único entonces la ecuación tendrá una única solución. Así con este enfoque vamos desde la ecuación al funcional.

Y como seguir abundando en este tema puede ser muy técnico lo dejaremos aquí por el momento.

Cuántica e incertidumbre (Parte I)

Hoy vamos a hablar, procurando no ser muy rigurosos (aparecen algunas fórmulas pero se pueden saltar), de por qué la mecánica cuántica es necesaria y del principio de incertidumbre de Heisenberg. La entrada la hemos escrito de manera conjunta Rafa y yo mismo.
Werner Heisenberg

Werner Heisenberg, uno de los padres de la Mecánica Cuántica

Principios de incertidumbre hay muchos, básicamente no es mas que una desigualdad de cierto tipo, donde un término controla a otro. En el caso concreto que nos atañe afirma que es imposible conocer con precisión la posición y la velocidad de una partícula cuántica (para fijar ideas un electrón). Los físicos (experimentales al menos) razonan diciendo que eso es porque para detectar un electrón hay que golpearlo con un fotón y entonces cambias su velocidad.
Esto nos deja con la duda: ¿habrá algún método que permita conocer las dos cosas?
La respuesta es que no. Y el motivo, enraizado en las matemáticas, tiene que ver con la transformada de Fourier. El ‘teorema’ aquí es que si tienes una función “grande” su transformada de Fourier es “pequeña” y viceversa (se puede intuir usando la desigualdad de Haussdorf-Young por ejemplo.). ¿Cómo afecta esto a nuestro electrón?. Los impacientes estarán pensando que se me está yendo la olla.
Pero comencemos aclarando por qué todas estas cosas tan raras de la cuántica son necesarias: supongamos que tenemos un átomo de hidrógeno (un electrón y un protón), y que tanto nuestro electrón como el núcleo del átomo se comportan como partículas clásicas. Entonces, al tener el núcleo carga eléctrica positiva y nuestro electrón carga eléctrica negativa deberían atraerse por la fuerza coulombiana entre ellos. Cuando un cuerpo con carga se acelera emite radiación electromagnética (véase la fórmula de Larmor [aquí inglés]) perdiendo así energía.
Trayectoria en espacio fásico

En una dimensión, la posición del electrón, x, oscilaría y caería hacia el origen de coordenadas. Su velocidad, p, también oscilaría y lo llevaría hacia el centro, radiando energía en el proceso.

Según este modelo el electrón se vería atraído irremisiblemente hacia el núcleo y acabaría chocando con éste. Pero esto implicaría ¡que no habría electrones!. En jerga científica diríamos que la materia no sería estable. Puesto que nosotros somos materia y estamos aquí las hipótesis de nuestro modelo no pueden ser correctas.
En otra entrada explicaremos la descripción de los estados en mecánica clásica y cuántica, pero permitidnos ahora que hagamos algunos supuestos. En la mecánica clásica la evolución de un sistema se describe como la trayectoria de un punto en el estado de fases. Sin embargo, en la mecánica cuántica esto no es posible, dado que el estado de un sistema solo puede venir dado como una “probabilidad”, de modo que no existe trayectoria de un solo punto que se adecue a la evolución temporal de un estado. Aquí, pues, la incógnita será una función (con argumentos en el espacio-tiempo y con valores en los complejos) \Psi (x,y,z,t) cuyo módulo al cuadrado (que es un número real) nos dará la densidad de probabilidad de que un sistema se encuentre en un cierto estado.
Esta función, que llamaremos “función de onda”,  evoluciona de acuerdo con la ecuación de Schrödinger. Esta es una ecuación en derivadas parciales (EDP) “cualitativamente” hiperbólica (ver la entrada anterior ). Para mayor simplicidad vamos a suponer aquí que no depende del tiempo, con lo que ahora nuestra ecuación de Schrödinger es elíptica y se puede escribir como la función que minimiza un funcional de acción (ya hablamos antes de este concepto)  J(\Psi)= \int |\nabla \Psi(x)|^2 dx +\int V(s)|\Psi(x)|^2 dx
Si utilizamos, como representación de la función de onda,  la base de POSICIONES, la densidad de probabilidad asociada a nuestra función de onda, \int_A |\Psi(x)|^2dx,  nos dará la probabilidad de que el sistema (en este caso, nuestro electrón) esté en una zona A del espacio.
Si nos interesa el MOMENTO (i.e. la velocidad), su función de onda es la transformada de Fourier de la función de onda de posiciones, \hat{\Psi}(p),  y esta es la madre del cordero.
En la mecánica clásica la posición y el momento eran independientes. Por eso, podríamos realizar medidas sobre una y otra cantidad sin afectar a la otra.
Ahora, no obstante, tenemos una ligadura: hay una relación que conecta la posición y el momento, y ha de cumplirse. Podemos, pues, escribir nuestro funcional en términos de las dos funciones de onda J(\Psi,\hat{\Psi})= \int |\hat{ \Psi}(p)|^2|p^2| dp +\int V(s)|\Psi(x)|^2 dx.
La formulación del principio de incertidumbre de Heisenberg es, pues, \int x^2|\Psi(x)|^2 dx \int p^2|\hat{\Psi}(p)|^2 dp=\int |\nabla_x \Psi(x)|^2 dx \int |\nabla_p \hat{\Psi}(p)|^2 dp\geq C donde C es cierta constante que podemos escribir explícitamente pero que hacerlo nos da una pereza superlativa por lo que lo dejamos ‘para el lector interesado’ ;). La constante es una ensalada de constante de Planck \hbar, \pi, algún dos… Puede escribirse también involucrando sólo una función de onda de la misma manera que se hace con el funcional.
Hemos dicho que \Psi(x,t) nos da una probabilidad, con función de densidad |\Psi(x,t)|^2dx. Así observamos que en realidad el término \int x^2|\Psi(x)|^2 dx es la varianza de nuestra variable aleatoria |\Psi(x,t)|^2 (que asumimos tiene media x=0, es decir, que nuestro electrón está más o menos rondando el origen de coordenadas espaciales).
Entonces si entendemos esas ‘normas’ de los gradientes como los “errores” (utilizaremos esta palabra aquí a modo explicativo, pero hay que ser cautos con la terminología), veremos que un error pequeño en alguna de nuestras mediciones, para fijar ideas, la posición, implica que el error del momento (es decir, de la velocidad) tiene que ser alto para que el producto sea mayor que una constante. Es más: cuanto mejor midamos una (menor error) mayor es el error de la otra. ¡Qué vida más dura la nuestra!
No he hablado nada claro en este último párrafo, y los exigentes se habrán quedado pensando que me explico muy mal (quizá tengan razón). Hemos calculado un par de ejemplos ilustrativos usando python. Hemos supuesto que es unidimensional y que nuestras funciones de onda toman valores en los reales y no en los complejos. No lo hacen, pero sed generosos con nosotros que esto es sólo una afición.
Supongamos que nuestra onda es como la de esta figura
Función de onda con momento definido: seno

Si la funcion de onda es como un seno, la longitud de onda (o el momento) está bien definida.

Entonces por la fórmula de De Broglie, que conecta la visión de partículas con la de ondas, tenemos una velocidad definida (con poco o ningún error), que depende de la longitud de onda (¡otra entrada por hacer!). Esto de nuevo enlaza con nuestra transformada de Fourier, dado que este tipo de transformadas nos llevan desde el espacio de posiciones al espacio de momentos. Sin embargo, no conocemos nada de la posición, pues la probabilidad no se decanta por ninguna zona en particular y salvo puntos donde nunca estarán los electrones por lo demás no podemos decir nada. (Para el lector interesado, decir que esta función de onda no está bien definida en el espacio de posiciones: no es normalizable)
Otro caso interesante es algo así como:
Función de onda de un paquete gaussiano

Un paquete gaussiano es una elección "popular" de función de onda porque tiene incertidumbre mínima

En esta segunda imagen tenemos una función tal que al hacer el cuadrado obtenemos una zona que acapara casi toda la probabilidad, un entorno del origen (como la vida misma, unos pocos acaparan casi toda la proba…, digo, billetes). Es decir, casi sin error podemos saber su posición; sin embargo, no podemos usar la fórmula de De Broglie para calcular su velocidad, pues ¿quién me dice su longitud de onda?…
Para ir concluyendo ¿cómo enlaza esto con los gradientes (es decir, las derivadas)?, observamos que una función como la de la figura 1 tiene un gradiente ‘pequeño’, mientras que una función cómo la de la figura 2 tiene un gradiente ‘grande’. Sólo hay que ver que ese pico tiene una derivada bien grande. Así tenemos que entender que los gradientes me dan una idea del error, pero cambiando la variable. Es decir, una gradiente alto en las x me dice un error grande en las p y un error pequeño en las x. Aunque no hemos hablado de ello, esto tiene que ver con la estructura geométrica de las ecuaciones del movimiento Hamiltonianas (ya llegará, ya llegará…).
Es sorprendente (pero usual) cómo la física a veces acaba teniendo que ver con ideas abstractas de las matemáticas (al revés también ocurre).
Hay más que contar, pero se está insinuando una entrada muy larga, así que en la segunda parte de esta entrada escribiremos más acerca de los desarrollos matemáticos de la Transformada de Fourier y de si se puede obtener alguna propiedad física desde las matemáticas.
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Esta entrada es participante en la XVIII Edición del Carnaval de la Física, alojado por “La Aventura , en la mecánica cuántica esto no es posible, de la Ciencia.

De contar, las integrales y los carnavales (de matemáticas)

(Esta es una entrada par participar en el X Carnaval de Matemáticas (http://carnavaldematematicas.drupalgardens.com/) organizado por La Ciencia de la Mula Francis (o Francis (th)E mule Science’s News, http://francisthemulenews.wordpress.com/))

En esta entrada para nuestro blog (http://ambages.es/blog/) vamos a hablar de las posibles maneras de contar que se nos ocurren y sus aplicaciones a la integración.

Desde los primeros cursos en el Instituto nos hacen que aprendamos unas cuantas fórmulas para el cálculo de volúmenes y áreas de cuerpos o figuras más o menos “corrientes”, pirámides, conos, cuadrados, círculos… Más tarde, ya en Bachiller nos enseñan la genial herramienta que es la Integral de Riemann.

Este concepto es clave, por lo que vamos a gastar unas líneas recordándolo. Supongamos, por facilitar la exposición, que estamos calculando el área bajo una curva y=f(x). Además, f es una curva curvada, nada de una linea recta o una poligonal. Lo que pensamos es, bueno, como sabemos la fórmula del área del rectángulo, vamos a ‘tapar’ el área bajo la curva con rectangulitos de distintos tamaños. Hecho esto observamos que el área calculada y el área que queríamos calcular no coinciden… pero si lo hemos hecho bien estarán muy cerca, si bien la que queremos calcular será un poquito mayor. La idea es ahora tapar ‘un poquito más’ del área buscada, para tener la certeza de que el área bajo la curva está entre dos valores aproximados y que son explícitos. Una vez hecho esto podemos tomar cada vez un mayor número de rectangulos para que nuestra estimación del área sea más precisa. Además argumentamos que en el límite cuando el número de rectángulos se hace infinito las 3 áreas, la buscada, la encontrada ‘por debajo’ y la encontrada ‘por arriba’, coincidirán.

Observamos que esto es válido para las curvas y=f(x) ‘razonables’. Como esta entrada es divulgativa no vamos a entrar en más detalles, pero es un ejercicio divertido (y fácil) tratar de encontrar una función que no se pueda integrar en el sentido de Riemann.

¿Qué os parece?, el cálculo de áreas, un problema central en la historia de la humanidad ya que está ligado a los campos de cultivo y por lo tanto al yantar, resuelto sin fórmulas complicadas ni nada parecido. Es cosa simplemente de ‘ir tapando con rectángulos’.

De esto ya se dio cuenta el genial Arquímedes (el que gritó ¡Eureka! y salió corriendo de la bañera). Así en su ‘Sobre la cuadratura de la parábola’ para calcular el área encerrada por un segmento de parábola lo que hace es tapar dicha superficie con triángulos isósceles de manera que lo que queda fuera de estos triángulos vuelven a ser segmentos de parábola similares al primero y de esta manera recurrente, sumando las áreas d elos infinitos triángulos calcular la superficie encerrada por la parábola inicial. Me gustaría señalar que la serie dada por las áreas de los triángulos es una serie geométrica de razón 1/4 y que Arquímedes la sumó entera. Es la primera vez en la historia (al menos que yo sepa) que se suma COMPLETA una serie geométrica (que es quizá la más fácil de las series), pues si bien en los Elementos de Euclides se da una fórmula para calcular la n-ésima suma parcial para cualquier n esto no es lo mismo que sumar la serie completa, hay una sutil diferencia.

Hasta ahora hemos hablado de integrales, áreas… pero nada de contar como dijimos al principio. Ahora vamos a eso. Supongamos que somos pobres becarios de investigación (lo de pobre es en sentido literal), y que queremos contar nuestro escaso peculio. Tenemos así monedas de 2 euros, de un euro, de 10 céntimos… vamos, de todas las monedas que hay. Una manera de contarlas es ponerse pacientemente, ir una a una e ir sumando. Primero cogemos una de 1 euro, luego una de 2 euros, luego una de 5 céntimos… Eso es lo que hace la integral de Riemann.


Pero esta manera de hacerlo no es la única. También podemos agrupar las monedas según su valor y contar cuantas tenemos en cada grupo. Así juntamos y nos salen 3 monedas de 2 euros por un lado, 10 monedas de 5 céntimos por otro… Ahora sólo hemos de multiplicar el número de monedas por su valor y sumar los resultados para cada grupo. Esta idea, para el cálculo integral, se llama Integral de Lebesgue. Lo que se hace es tapar con rectángulos según la altura de la función. Así en la figura adjunta (sacada de la wikipedia) se ve en azul la manera de integrar de Riemann y en rojo la manera de integrar de Lebesgue. Parece una tontería sin consecuencias, pero tiene unas consecuencias teóricas y prácticas importantisimas, de manera que es la Integral que los matemáticos usamos normalmente. Sin embargo, como es una entrada divulgativa, y no una clase de teoría de la medida lo voy a dejar aquí.