La ecuación de Burgers

En este blog sabéis que periódicamente ponemos entradas de física, o mejor aún, de cómo las matemáticas se utilizan para explicar cosas de física (ver por ejemplo ésta, ésta y ésta otra entrada). La que colgamos hoy es de esas. Además ésta estaba pendiente porque en una entrada sobre varios modelos de las ecuaciones de Euler dije que iba a escribir sobre la ecuación de Burgers. Pues bien, aquí está.

La ecuación de Burgers no viscosa (que toma su nombre de J.M. Burgers) se escribe de la siguiente manera

\partial_t u(x,t)+u(x,t)\partial_x u(x,t)=0,\;\; u(x,0)=f(x)\;\;\quad (1).

Se trata de una ecuación de primer orden no lineal y suele ser el primer ejemplo de ecuación no lineal que se pone en los libros de texto (para una lectura rápida sobre las propiedades de algunas ecuaciones en derivadas parciales sencillas leed esto). Se trata además de la primera ecuación que surge de manera natural cuando uno quiere entender las ecuaciones de Euler y también “refleja” (más o menos) el comportamiento de una ola (ver un artículo reciente sobre este tipo de ecuaciones aquí).

Si pasamos esquivando el cuestión de la existencia o no de solución para dicho problema (1) y directamente suponemos que existe tal solución y que además es una función “suave”, i.e., con tantas derivadas como nos hagan falta, podemos obtener una propiedad importante de manera muy sencilla. Supongamos que tenemos una solución u(x,t) que tiene, al menos, dos derivadas en x, y supongamos además que dicha solución se va muy rápido a cero cuando |x| se hace muy grande. Dicha solución tendrá un mínimo (o ínfimo), y un máximo (o supremo) y sus posiciones dependerán del tiempo. Como la función tiende a cero en el infinito estos valores se alcanzan (es decir, no son ínfimos/supremos). Denotemos el punto donde u(x,t) alcanza su mínimo como x_t y el punto donde u(x,t) alcanza su máximo como X_t. Por lo tanto, fijo t,

u(x_t,t)=\min_x \{u(x,t)\},

y

u(X_t,t)=\max_x \{u(x,t)\}.
En estos puntos la ecuación queda
\partial_t u(X_t,t)+u(X_t,t)\partial_x u(X_t,t)=\partial_t u(X_t,t)=0,

y

\partial_t u(x_t,t)+u(x_t,t)\partial_x u(x_t,t)=\partial_t u(x_t,t)=0,

y obtenemos que tanto el máximo como el mínimo del dato inicial se conservan,

\max_x u(x,t)=\max_x f(x),

y

\min_x u(x,t)=\min_x f(x).

Si ahora repetimos el argumento para la evolución de \min_x \partial_x u obtenemos, si x_t es el punto de mínimo, la siguiente ecuación

\partial_t \partial_x u(x_t,t)+(\partial_x u(x_t,t))^2=0.\quad (2)

Ahora observamos que (2) es una EDO que se puede resolver explícitamente (¿sabrías cómo hacerlo?)

y tenemos que, si 0<t=-\min_x \partial_x f(x), |\partial_x u(x_t,t)|=\infty.

Veamos unas simulaciones para entender bien lo que pasa aquí:

Esto es un ejemplo de singularidad. Tampoco debería sorprendernos, pues esta ecuación aparece relacionada con olas y parece reflejar el hecho de que las olas “rompen”.

¿Qué pasa si ahora añadimos una pequeña viscosidad con la forma de un laplaciano? (Esta difusión puede generalizarse, por ejemplo como en [2])

\partial_t u(x,t)+u(x,t)\partial_x u(x,t)=\nu \partial_x^2 u(x,t),\;\; u(x,0)=f(x)\;\;\quad (2).

Esta ecuación se conoce como Ecuación de Burgers viscosa y puede entenderse como un modelo (en realidad una caricatura) de la ecuación de Navier-Stokes. Bueno, ahora la cuenta anterior no es tan sencilla, porque el término difusivo, el laplaciano, tiene signo “bueno”, es decir, se opone a los crecimientos descontrolados como los que se veían en el vídeo anterior. De hecho, usando la transformación de Cole-Hopf (ver aquí) se puede ver que esta ecuación tiene existencia global para cualquier valor de \nu.

De esta manera, el vídeo ahora es

–Referencias:

1) Vincent Duchene, “Decoupled and unidirectional asymptotic models for the propagation of internal waves”, preprint Arxiv, http://arxiv.org/abs/1208.6394.

2) RGB y José Manuel Moreno, “La ecuación de Burgers como un paso previo al estudio de los fluidos incompresibles”, La Gaceta de la RSME, vol 15, num 3, pag, 489-512, 2012. ArXiv preprint http://arxiv.org/abs/1105.5990.

–Nota: Como lo de aproximar soluciones de EDPs es algo muy útil, dedicaremos una entrada próximamente a un método sencillo que produce muy buenos resultados.

Problemas de frontera “no-tan-libre”

Resulta que en el Instituto de Ciencias Matemáticas hay un “Working Pizza Seminar“, (además del enlace “oficial” aquí se puede ver el enlace al blog del ICMAT) es decir, un sitio donde se dan charlas informales sobre temas de investigación actual y, además, te dan pizza para comer, y hoy he torturado hablado yo.

He hablado un poco de las cosas que he estado haciendo estos casi 3 años que llevo con la tesis (ver las diapositivas aquí PizzaWorkingSeminar). Es decir, he tratado problemas de frontera libre que surgen en el movimiento de fluidos incompresibles en medios porosos inhomogéneos. Así, por ejemplo, he explicado entre otras cosas, cuándo este tipo de olas puede tener singularidades

Y también cuando es de esperar que no.

Además he comparado diversos modelos existentes. Por ejemplo he comparado el caso homogéneo con profundidad infinita con el caso homogéneo con profundidad finita (puede argumentarse que las fronteras del dominio serían zonas de permeabilidad nula y por lo tanto el problema sería inhomogéneo… pero dejémoslo estar)

También he comparado casos con distinta permeabilidad

Todos estos problemas son interesantes, por ejemplo, de cara a la obtención de energía. En efecto, si uno quiere extraer petróleo lo que se suele hacer es inyectar agua a presión de manera que ésta lo desplaza, expulsándolo (ver aquí). Otra fuente de energía, esta vez mucho menos conocida, es la energía geotérmica (ver aquí). Ahí típicamente se tiene una zona de permeabilidad altísima, una de permeabilidad más normal y ambas se encuentran acotadas por capas impermeables. Ahí se tiene que el agua está muy caliente debido al calor propio del núcleo de la Tierra y por lo tanto puede aprovecharse para obtener electricidad.

–Nota: La portada hay que agradecérsela a Elena Hontangas Martínez :-)

–Nota 2: Parece mentira la cantidad de cuadros que hay dedicados exclusivamente a las olas. Será la única cosa que tengan en común matemáticos y artistas en sus respectivos trabajos…

Sobre las singularidades en Euler y la conjetura de Onsager

Hace algún tiempo escribíamos (ver aquí) sobre un modelo de las ecuaciones de Euler en 3d. La historia de este artículo acabó pronto porque había un error y lo retiraron. Hoy ha aparecido un artículo en Arxiv donde afirman que

A class of singular 3D-velocity vector fields of finite energy is constructed which satisfy the incompressible 3D-Euler equation. It is shown that such a solution scheme does not exist in dimension 2. The solutions constructed are smooth up to finite time where they become singular.

Es decir, afirman haber conseguido soluciones de Euler 3D que son suaves hasta un tiempo finito donde se vuelven singulares. Esto es un teoremazo de ser cierto. Sin embargo, al abrir interesado el artículo empiezan las dudas. El argumento parece ser considerar una familia de soluciones dada por

v_i(x,t)=\frac{f_i(x)}{t-1},

y ver qué han de satisfacer dichas f_i(x) para que v satisfaga las ecuaciones de Euler. Observamos que para esta familia se tiene que

\int_{\mathbb{R}^3}|v(x,t)|^2dx=(t-1)^{-2}\int_{\mathbb{R}^3}|f(x)|^2dx\rightarrow \infty\text{ as }t\rightarrow1. \quad (1)

Aquí es donde entra la conjetura de Onsager. Dicha conjetura dice que si v es un campo de velocidades suficientemente regular (más regular que Hölder-1/3) entonces la norma L^2 (que es la cantidad descrita anteriormente en (1)) se conserva. Si no

”…in three dimensions a mechanism for complete dissipation of all kinetic energy, even without the aid of viscosity, is available.” Lars Onsager

Se sabe que si la solución es regular conserva la energía, (es un artículo de Constantin, E y Titi de los años 90) mientras que un reciente artículo de C. De Lellis y L. Székelyhidi Jr. se prueba que existen soluciones Hölder-1/10 que no conservan la energía cinética (ver (1)).

Es decir, o a mí se me está escapando algo o (1) es incompatible con lo que se conoce.

–Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas en su edición 26, organizado esta vez por ZTFNews.

Problemas de frontera “no-tan-libre” en dinámica de fluidos: las diferencias

En esta entrada tratamos de presentar de manera sencilla la siguiente pregunta

¿Cómo de importante es el lecho marino para las olas en la superficie?

Así tenemos que estudiar el problema de la evolución de la interfase entre dos fluidos cuando dichos fluidos se encuentran en un medio poroso acotado y, tras hacer unas simulaciones para ver por dónde iban los tiros, dimos los primeros pasos en el estudio matemático del problema. Sin embargo, pese a que en las simulaciones observamos grandes diferencias en los primeros resultados matemáticamente rigurosos no capturamos esos fenómenos.

La primera pregunta que nos hacemos es ¿cuál es la evolución de la amplitud máxima de la ola? Para ellos lo que hacemos es estudiar

Lo que conseguimos probar es

o, lo que es lo mismo, que la amplitud no puede crecer con el tiempo. Este resultado es idéntico al caso donde la profundidad es infinita. Sin embargo en las simulaciones habíamos visto que las diferencias a este nivel eran grandes:

Lo que ocurre es que la velocidad a la que cae la amplitud es distinta. En el caso de profundidad infinita tenemos

donde f_0(x)=f(x,0) es la ola inicial. En el caso de un medio acotado la amplitud evoluciona según

Así hemos obtenido la primera diferencia importante: la interfase en el caso de profundidad finita decae más despacio. 

Ahora cabe preguntarse ¿cómo evoluciona \max_x|\partial_x f(x,t)|? Esta cantidad nos da una idea de cómo es la longitud de onda. Sabemos que en el caso donde el medio no está acotado se tiene que

si \max_x|\partial_x f(x,0)|<1 entonces \max_x|\partial_x f(x,t)|<\max_x|\partial_x f(x,0)|\;\; \forall t>0.

En el caso de que el medio tenga profundidad finita tenemos una condición (razonablemente complicada y que escribiremos F) que involucra no sólo a \max_x|\partial_x f(x,0)| si no también a \max_x|f(x,0)|:

si F(\max_x|\partial_x f(x,0)|,\max_x|f(x,0)|)\leq 0 entonces \max_x|\partial_x f(x,t)|\leq\max_x|\partial_x f(x,0)|\;\; \forall t>0.

Una consecuencia de esto es que si esa condición se satisface y entonces tenemos una cota superior para \max_x|\partial_x f(x,t)| y por lo tanto la ola no puede romper.

Bueno, ahora que sabemos cuándo la interfase no rompe cabe preguntarse si hay alguna situación en la que la interfase rompa. Y efectivamente obtenemos que hay datos tales que pasa lo siguiente:

Es más, podemos probar mediante una prueba asistida con ordenador, que existen datos iniciales tales que sólo rompen cuando la profundidad es finita. Es decir, que el fondo ayuda a que las olas rompan. Y si bien hemos probado estos teoremas en el caso de fluidos moviéndose en un medio poroso estos dos últimos resultados se pueden probar gratis para el caso de las water waves, i.e. la interfase entre un fluido incompresible e irrotacional siguiendo las ecuaciones de Euler y el aire.

–Referencias:

D. Córdoba, RGB, R.Orive, The confined Muskat problem: differences with the deep water regime.

–Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas en su edición 26, organizado esta vez por ZTFNews.

–Nota 2: Con esta entrada participamos también en el Carnaval de Física en su edición XXXIV que organiza Hablando de Ciencia.

Problemas de frontera “no-tan-libre” en dinámica de fluidos: primeros pasos

Decía el señor Swett Marden que

“Un guijarro en el lecho de un pobre arroyuelo puede mudar el curso de un río”.

Parece una exageración y sin duda lo es, pero sirve para que nos hagamos la siguiente pregunta:

¿Cómo de importante es el lecho marino para las olas en la superficie?

Ésta es la pregunta que tratamos de contestar en este artículo. El problema que queremos entender es, dados dos fluidos incompresibles en un medio poroso acotado, ¿cómo se comporta la interfase entre ambos y que diferencias presenta con el caso en el que el medio no esta acotado? Bueno, vamos a trasladar ese problema físico a ecuaciones en derivadas parciales. Tenemos una densidad que presenta dos valores según estemos por encima o por debajo de la interfase, que denotamos por ,

Que los fluidos sean incompresibles y se muevan en un medio poroso acotado quiere decir que el dominio espacial de los fluidos es 

y que la velocidad satisface la Ley de Darcy y la condición de incompresibilidad

Estas ecuaciones se puede trasladar a una única ecuación para la interfase:

Ahora que tenemos el problema cabe preguntarnos si el hecho de que el dominio sea S y no \mathbb{R}^2 cambia mucho la situación. Para hacernos una idea podemos hacer unas simulaciones numéricas preliminares. Para ello consideramos un dato inicial y lo hacemos evolucionar en el caso donde el medio tiene profundidad finita (caso acotado) y también en el caso en el que el medio tiene una profundidad infinita (caso no acotado). Por supuesto el resto de los parámetros físicos son los mismos en ambas evoluciones. Así observamos lo siguiente

(Si no ves bien las imágenes pincha en ellas para hacerlas más grandes)

Parece claro a la vista de estos resultados que el hecho de que el medio esté acotado o no es relevante para las olas.

Una vez que tenemos el problema propuesto tenemos que empezar a sacar teoremas :-P. Evitando tecnicismos lo primero que probamos es

1) (Existencia y unicidad) que si el fluido de arriba es más ligero que el que está abajo el problema tiene una solución.

1.b) (Existencia y unicidad 2) que si el fluido de arriba es más pesado que el de abajo pero la interfase inicial es analítica existe una solución.

2) (Efecto regularizante) que dicha solución se vuelve muy regular (analítica) para cualquier t>0 (compárese con la ecuación del calor aquí.)

De momento estos 3 teoremas son idénticos en su enunciado a los teoremas cuando la profundidad es infinita. ¿Sorprendido? Bueno, esto sólo quiere decir que para probar matemáticamente las diferencias que hemos visto en los vídeos y las imágenes anteriores tenemos que trabajar un poco más, así que sed pacientes y esperad a la siguiente entrada ;-).

Bueno, si os veis muy impacientes podéis leer (o, en su caso, releer) ésta, ésta y esta entrada.

–Referencias:

D. Córdoba, RGB, R.Orive, The confined Muskat problem: differences with the deep water regime.

–Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas en su edición 26, organizado esta vez por ZTFNews.

–Nota 2: Con esta entrada participamos también en el Carnaval de Física en su edición XXXIV que organiza Hablando de Ciencia.

Las “singulares” ecuaciones de los fluidos

Recientemente ha salido en Arxiv un artículo, de Thomas Hou y Zhen Lei, donde prueban singularidades para un modelo de las ecuaciones de Euler incompresibles tridimensionales. Este no es uno de los problemas del milenio, pero está íntimamente relacionado con uno de ellos. Me refiero al problema de la existencia de singularidades en las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles.

Las ecuaciones de Euler incompresibles representan las velocidades de un fluido incompresible y no viscoso. Podemos pensar en agua. Las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles representan las velocidades de un fluido incompresible y viscoso. Por lo tanto están más cerca de captar la realidad.

Veamos este video:

Durante los primeros segundos salen en pantalla un par de recipientes con dos fluidos distintos. Pues bien, las ecuaciones de Euler son una aproximación correcta al fluido de la izquierda, mientras que no lo son para el de la derecha debido a la enorme viscosidad que tiene. En este otro vídeo vemos otro efecto de la viscosidad: el fluido verde se “pega” al fondo del vaso.

Ahora bien, ¿qué significa que haya una singularidad en las ecuaciones de Euler? Bueno, estas ecuaciones (en el caso de un fluido homogéneo) son:

a) la conservación de momento: (3 ecuaciones)

b) la condición de incompresibilidad: (1 ecuación)

donde \nabla=(\partial_{x},\partial_y,\partial_z) y \vec{u}=(u_1,u_2,u_3).

Viendo que el operador \nabla y \partial_t son derivadas un primer significado de la ecuación está claro: un campo de vectores \vec{u} es solución de las ecuaciones de Euler incompresibles cuando sus derivadas satisfacen las ecuaciones anteriores en cada punto (x,y,z) del espacio para todo tiempo t.

Así, diremos que hay una singularidad cuando alguna o varias de estas derivadas no exista para algún punto del espacio (x,y,z) en algún tiempo tPor ejemplo, podemos pensar en la función |x| que no tiene derivada en el punto x=0.

Pues bien, la existencia de singularidades (o su inexistencia) es un tema central desde el punto de vista matemático y físico porque es crucial a la hora de derivar el modelo. Es decir, si no hubiese una solución para todo tiempo entonces es que las hipótesis de las que se derivan las ecuaciones NO se satisfacen y, por lo tanto, las ecuaciones no tienen sentido físico. Visto así, casi es un alivio, porque, o sabemos resolver las ecuaciones para todo tiempo o no tenemos que hacerlo.

Para acabar con esta entrada voy a dejar un enlace a una entrada previa sobre el resultado de Ángel Castro, Diego Córdoba, Charles Fefferman, Francisco Gancedo y Javier Gómez sobre las singularidades en las olas (observad que el agua en una ola sigue las ecuaciones de Euler). Estas singularidades en la superficie no son del mismo tipo de las comentadas en la entrada y por eso no las mencionamos más.

Probablemente, si saco algo de tiempo, escribiré alguna entrada sobre el modelo de Euler más sencillo que conozco, la ecuación de Burgers.

Nota: Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas en su edición 3.141, que organiza el blog Desequilibrios.

Las matemáticas como ciencia experimental

Actualmente cuando uno piensa en problemas sin resolver en física piensa en la Teoría del Todo, en el bosón de Higgs o en los límites de validez de la mecánica cuántica. Sin embargo, existen problemas que son fáciles de entender que aún no tienen respuesta. Problemas que sólo involucran a la mecánica de Newton y que todavía no sabemos cómo atacar. Vamos a introducir el que nos ocupa con un experimento que puede ser fácilmente realizado en casa. Continue reading

Resolviendo la ecuación de ondas…

Tradicionalmente los matemáticos que trabajamos en el área de ecuaciones en derivadas parciales estudiamos problemas que vienen de procesos físicos. Es el caso de la ecuación del calor, la ecuación de Poisson o la ecuación de ondas. En esta entrada vamos a exponer dos métodos para resolver la ecuación de ondas. Estos métodos al tener un planteamiento distinto dan una información distinta. Veremos así diferencias entre pensar en las ecuaciones sólo o pensar en el fenómeno que modelizan. La ecuacion de ondas es
\displaystyle\partial_t\partial_t u=\partial_x\partial_x u,
junto a dos valores iniciales (tiene dos derivadas en tiempo) y las condiciones de contorno, que aquí tomamos dirichlet homogéneas. Esta ecuación refleja la separación del equilibrio de la cuerda en tiempo t y en el punto x.
Jean Le Rond D’Alembert demostró que si consideramos toda la recta (es decir, sin contornos) entonces podemos escribir la solución como una superposición de ondas, una que viaja hacia la derecha y otra que viaja hacia la izquierda. Estas ondas se escriben en función de los valores iniciales. Podemos hacer lo mismo en dominios acotados o semi acotados, pero es más lío.
Esta aproximación es puramente teórica, muchas ecuaciones admiten solución en forma de onda viajera (por ejemplo la de Fisher-Kolmogorov, \partial_t u=\partial_x\partial_x u +u(1-u) ). En este caso podemos esperarlo si observamos que podemos ‘factorizar’ el operador como dos operadores de transporte   Continue reading

De cuerdas y tambores, o cómo la física aparece en un problema de matemáticas

Cualquier estudiante de física tiene claro o al menos intuye cómo aparecen las matemáticas al estudiar problemas de física. Hoy vamos a hablar de cómo aparece la física en un teorema abstracto de matemáticas. Continue reading

Usando las Matemáticas en biología

Empezamos el año participando en la IX edición del Carnaval de Biología organizado por La Ciencia de la Vida. Corrientemente las personas que se dedican a la docencia tienen que oir la pregunta ¿pero esto para qué vale?. Esas preguntas normalmente se refieren a las matemáticas o la física. En esta nueva entrada en nuestro blog vamos a presentar brevemente una posible aplicación de las matemáticas, en este caso a la biología. Ni es la aplicación más útil ni la más interesante, pero es sencilla.