Las olas: Un matemático en la playa.

Ya va haciendo calor y empieza a apetecer el irse a la piscina o a la playa. Sin duda la playa es uno de los sitios menos entendidos por el mundo científico y más visitados por el resto del mundo. El fenómeno al que me refiero cuando digo que no se comprende completamente, claro está, son las olas. En esta entrada estudiaremos diversos casos de olas entre fluidos ilustrando el texto con diversos videos.

Vamos a empezar hablando de un caso un poco más general que las típicas olas en la superficie del mar. En matemáticas entendemos por interfase entre fluidos a la parte donde estos entran en contacto entre sí. Así una ola es la interfase entre el aire y el agua. Una interfase entre fluidos con distintas propiedades puede exhibir un comportamiento muy complicado, patológico si se quiere, pero que es, pienso yo al menos, visualmente muy bonito. Estoy pensando por ejemplo en singularidades como pueden ser las llamadas singularidades de Kelvin-Helmholtz o Rayleigh-Taylor. Hagamos una parada antes de proseguir con nuestras olas.

Supongamos por un momento que tenemos dos fluidos con densidades distintas, por fijar ideas digamos aceite y agua, de manera que el fluido más denso (el agua) está en el fondo de un recipiente cerrado completamente (un tubo con ambos extremos taponados). El fluido menos denso (el aceite) reposa encima del agua. Supongamos ahora que dicho tubo, y por tanto los fluidos, está en reposo, por ejemplo en una mesa. La pregunta es ¿qué ocurre si, repentinamente, inclinamos dicho recipiente? Veamos unos vídeos con este experimento:

Lo que vemos en el video es que la interfase “se enrolla” sobre sí misma. Esto es debido a que las velocidades (que son un vector en 3D) tangentes a la interfase tienen signo distinto. Es decir, si lo pensamos en una interfase en 2D (una curva) sería que la velocidad en el fluido que está encima de la interfase “señala hacia la izquierda” mientras que para el fluido que está debajo de la interfase “señala a la derecha”. De ahí esa tendencia a girar y enrollarse.

Supongamos ahora que cambiamos el orden de los fluidos. Ahora tenemos (por ejemplo porque tenemos una barrera entre ambos fluidos) el agua reposando sobre el aceite. ¿Qué ocurre si retiramos rápidamente la barrera entre ambos fluidos? Bueno, pues que el fluido más denso, por la gravedad, caerá hacía abajo, empujando en su camino al fluido menos denso, que subirá hacía arriba. Vale, el caso es que lo que va a ocurrir es sencillo de vaticinar, lo curioso aquí es la manera en que ocurre. Vayamos otro rato a youtube…

Tras ver estos experimentos y haber pensado un poquito nos damos cuenta de que el que quiera entender bien estos procesos tiene mucho trabajo por delante. Y ahí estamos bregando algunos…

Volvamos a las olas. Hace tan sólo unos días uno de mis jefes (Diego Córdoba) y algunos de mis compañeros (Ángel Castro, Francisco Gancedo y Javier Gómez) y otros colaboradores (el medallista Field Charles Fefferman) hicieron un importante avance. Probaron la existencia de otro tipo de singularidad para el caso de las olas. Bautizaron a esta singularidad como “splash”. Arremanguémonos y veamos un poco las matemáticas que hay debajo de todo esto…

Consideremos una curva en el plano. Esta será nuestra ola inicial. La evolucion de esta ola viene dada por la evolución del fluido bajo ella. Se trata así de un problema de frontera libre, es decir, donde el propio dominio es una incógnita. Así tenemos que, bajo la ola, se verifican las ecuaciones de Euler incompresibles y que además el fluido es irrotacional. Sobre la curva suponemos que tenemos el vacío (esto es un buen modelo porque el agua tiene una densidad mucho mayor a la del aire). Lo que se sabía antes de los trabajos de Diego y compañía eran la existencia local de solución, es decir, que una ola “suave” sigue siendo una ola “suave” al menos un corto tiempo. Esta existencia local es cierta tanto en el caso donde se supone que la profundidad del mar es infinita como en el caso con un lecho marino predeterminado (son resultados de S. Wu y D. Lannes, respectivamente). También se sabe que si las olas “son muy planitas” la existencia es global, es decir, la ola existe para cualquier tiempo (resultados obtenidos independientemente por S. Wu y P. Germain, N. Masmoudi y J. Shatah).

Los resultados con bandera española en este tema comienzan con un artículo (de A. Castro, D. Córdoba, C. Fefferman, F. Gancedo y M. López) donde se prueba que una ola que empieza siendo un grafo, es decir, se puede escribir como (x,f(x)), deja en un tiempo finito T de ser un grafo. De otra manera, la ola rompe. Matemáticamente esto es que la derivada espacial de la ola se hace infinita en algún punto. El resultado de hace unos días que he mencionado más arriba abunda más en esta línea. Lo que A. Castro, D. Córdoba, C. Fefferman, F. Gancedo y J. Gómez prueban es que existen olas que empiezan siendo curvas suaves y que en un tiempo finito se tocan. Es decir, se ha perdido la propiedad de ser una curva sin autointersecciones. Así es plausible el escenario de comenzar con un grafo, evolucionar hasta perder la propiedad de ser un grafo, es decir, la ola rompe, y, al continuar pasando el tiempo, la curva se acabe autointersecando. Esto es justamente lo que hemos visto en el primer video de esta entrada. Así que podemos concluir dos cosas: una es que algo tan cotidiando como una ola puede ser matemáticamente un problema muy difícil. La segunda cosa que podemos aprender es que nuestro modelo para la dinámica de fluidos funciona en el sentido de que recupera comportamientos reales observados en la naturaleza.

Antes de acabar quiero agradecer a mi compañero Javier Gómez que nos haya dejado el video de sus simulaciones.

—-Esta es nuestra contribución a la edición 2.5 del Carnaval de Matemáticas (http://carnavaldematematicas.bligoo.es/), que está siendo albergado por el blog Juegos Topológicos (http://topologia.wordpress.com/d).

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