Problemas de frontera “no-tan-libre” en dinámica de fluidos: las diferencias

En esta entrada tratamos de presentar de manera sencilla la siguiente pregunta

¿Cómo de importante es el lecho marino para las olas en la superficie?

Así tenemos que estudiar el problema de la evolución de la interfase entre dos fluidos cuando dichos fluidos se encuentran en un medio poroso acotado y, tras hacer unas simulaciones para ver por dónde iban los tiros, dimos los primeros pasos en el estudio matemático del problema. Sin embargo, pese a que en las simulaciones observamos grandes diferencias en los primeros resultados matemáticamente rigurosos no capturamos esos fenómenos.

La primera pregunta que nos hacemos es ¿cuál es la evolución de la amplitud máxima de la ola? Para ellos lo que hacemos es estudiar

Lo que conseguimos probar es

o, lo que es lo mismo, que la amplitud no puede crecer con el tiempo. Este resultado es idéntico al caso donde la profundidad es infinita. Sin embargo en las simulaciones habíamos visto que las diferencias a este nivel eran grandes:

Lo que ocurre es que la velocidad a la que cae la amplitud es distinta. En el caso de profundidad infinita tenemos

donde f_0(x)=f(x,0) es la ola inicial. En el caso de un medio acotado la amplitud evoluciona según

Así hemos obtenido la primera diferencia importante: la interfase en el caso de profundidad finita decae más despacio. 

Ahora cabe preguntarse ¿cómo evoluciona \max_x|\partial_x f(x,t)|? Esta cantidad nos da una idea de cómo es la longitud de onda. Sabemos que en el caso donde el medio no está acotado se tiene que

si \max_x|\partial_x f(x,0)|<1 entonces \max_x|\partial_x f(x,t)|<\max_x|\partial_x f(x,0)|\;\; \forall t>0.

En el caso de que el medio tenga profundidad finita tenemos una condición (razonablemente complicada y que escribiremos F) que involucra no sólo a \max_x|\partial_x f(x,0)| si no también a \max_x|f(x,0)|:

si F(\max_x|\partial_x f(x,0)|,\max_x|f(x,0)|)\leq 0 entonces \max_x|\partial_x f(x,t)|\leq\max_x|\partial_x f(x,0)|\;\; \forall t>0.

Una consecuencia de esto es que si esa condición se satisface y entonces tenemos una cota superior para \max_x|\partial_x f(x,t)| y por lo tanto la ola no puede romper.

Bueno, ahora que sabemos cuándo la interfase no rompe cabe preguntarse si hay alguna situación en la que la interfase rompa. Y efectivamente obtenemos que hay datos tales que pasa lo siguiente:

Es más, podemos probar mediante una prueba asistida con ordenador, que existen datos iniciales tales que sólo rompen cuando la profundidad es finita. Es decir, que el fondo ayuda a que las olas rompan. Y si bien hemos probado estos teoremas en el caso de fluidos moviéndose en un medio poroso estos dos últimos resultados se pueden probar gratis para el caso de las water waves, i.e. la interfase entre un fluido incompresible e irrotacional siguiendo las ecuaciones de Euler y el aire.

–Referencias:

D. Córdoba, RGB, R.Orive, The confined Muskat problem: differences with the deep water regime.

–Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas en su edición 26, organizado esta vez por ZTFNews.

–Nota 2: Con esta entrada participamos también en el Carnaval de Física en su edición XXXIV que organiza Hablando de Ciencia.

Problemas de frontera “no-tan-libre” en dinámica de fluidos: primeros pasos

Decía el señor Swett Marden que

“Un guijarro en el lecho de un pobre arroyuelo puede mudar el curso de un río”.

Parece una exageración y sin duda lo es, pero sirve para que nos hagamos la siguiente pregunta:

¿Cómo de importante es el lecho marino para las olas en la superficie?

Ésta es la pregunta que tratamos de contestar en este artículo. El problema que queremos entender es, dados dos fluidos incompresibles en un medio poroso acotado, ¿cómo se comporta la interfase entre ambos y que diferencias presenta con el caso en el que el medio no esta acotado? Bueno, vamos a trasladar ese problema físico a ecuaciones en derivadas parciales. Tenemos una densidad que presenta dos valores según estemos por encima o por debajo de la interfase, que denotamos por ,

Que los fluidos sean incompresibles y se muevan en un medio poroso acotado quiere decir que el dominio espacial de los fluidos es 

y que la velocidad satisface la Ley de Darcy y la condición de incompresibilidad

Estas ecuaciones se puede trasladar a una única ecuación para la interfase:

Ahora que tenemos el problema cabe preguntarnos si el hecho de que el dominio sea S y no \mathbb{R}^2 cambia mucho la situación. Para hacernos una idea podemos hacer unas simulaciones numéricas preliminares. Para ello consideramos un dato inicial y lo hacemos evolucionar en el caso donde el medio tiene profundidad finita (caso acotado) y también en el caso en el que el medio tiene una profundidad infinita (caso no acotado). Por supuesto el resto de los parámetros físicos son los mismos en ambas evoluciones. Así observamos lo siguiente

(Si no ves bien las imágenes pincha en ellas para hacerlas más grandes)

Parece claro a la vista de estos resultados que el hecho de que el medio esté acotado o no es relevante para las olas.

Una vez que tenemos el problema propuesto tenemos que empezar a sacar teoremas :-P. Evitando tecnicismos lo primero que probamos es

1) (Existencia y unicidad) que si el fluido de arriba es más ligero que el que está abajo el problema tiene una solución.

1.b) (Existencia y unicidad 2) que si el fluido de arriba es más pesado que el de abajo pero la interfase inicial es analítica existe una solución.

2) (Efecto regularizante) que dicha solución se vuelve muy regular (analítica) para cualquier t>0 (compárese con la ecuación del calor aquí.)

De momento estos 3 teoremas son idénticos en su enunciado a los teoremas cuando la profundidad es infinita. ¿Sorprendido? Bueno, esto sólo quiere decir que para probar matemáticamente las diferencias que hemos visto en los vídeos y las imágenes anteriores tenemos que trabajar un poco más, así que sed pacientes y esperad a la siguiente entrada ;-).

Bueno, si os veis muy impacientes podéis leer (o, en su caso, releer) ésta, ésta y esta entrada.

–Referencias:

D. Córdoba, RGB, R.Orive, The confined Muskat problem: differences with the deep water regime.

–Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas en su edición 26, organizado esta vez por ZTFNews.

–Nota 2: Con esta entrada participamos también en el Carnaval de Física en su edición XXXIV que organiza Hablando de Ciencia.

Euler y el problema de Basilea: La convergencia de la serie

En una entrada anterior (ver aquí) os contamos cómo Jacob Bernoulli encaró el problema de Basilea, esto es, la suma de la serie

Estamos en 1730 o 1731 y es ahora cuando hace su aparición Leonhard Euler, con su artículo De summatione innumerabilium progressionum, publicado en 1738, donde utiliza un método nuevo para aproximar esta serie. Euler parte de la serie de potencias de

La divide por -x e integra entre 0 y 1/2, obteniendo


En el lado izquierdo de esta expresión hace la sustitución y = 1-x consiguiendo  y reparando en que

se obtiene


Cada uno de los sumandos se puede integrar por partes,

Agrupando de nuevo, se consigue

Podemos ahora sustituir la serie de potencias

con lo cual queda

Ahora, Euler desprecia el producto \log(1)\log(0) y procede igualando la expresión de la derecha con el valor que se ha conseguido de la integral de la izquierda mediante el proceso anterior. De este modo llega a

Con estos manejos poco rigurosos, Euler solucionó el problema de la baja velocidad de convergencia de la serie: gracias a las potencias de dos en el numerador, los términos de la nueva serie que ha obtenido decaen mucho más rápido, y en consecuencia la convergencia de la serie es mucho mejor. Además, Euler conocía el valor de \log(2) con una gran cantidad de cifras decimales, consiguiendo así una aproximación 1.644934 que es correcta en las seis cifras decimales con la suma de sólo catorce términos de la nueva serie.

–Nota 1: Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas del mes de Marzo. Ésta vez ha sido organizado por Hablando de Ciencia

–Nota 2: Para las imágenes con las fórmulas hemos usado el editor presente en esta web.

–Nota 3:  El texto anterior está basado en el artículo

Rafael Granero Belinchón, El problema de Basilea: Historia y algunas demostraciones. La Gaceta de la RSME, vol 12, num 4, pag 721-737, 2009.

Resultado de las votaciones

Bueno, ayer por la noche acabó el plazo para votar la mejor entrada del Carnaval de Matemáticas de Febrero (aquí el resumen actualizado). El resultado es el siguiente:

Felicidades al ganador :-). Nos vemos en el próximo Carnaval que organiza Hablando de Ciencia.

¡A votar! (Carnaval de Matemáticas 3.1)

Llega el momento de votar la mejor entrada del mes de Febrero. Para que os sea más fácil os dejo el resumen del Carnaval.

Empezamos con las que aparecieron antes de tiempo:

Fuera de plazo (pero igualmente interesantes) :-):

  • Byron nos presenta un cuento a la usanza de las mil y una noches donde el protagonista ha de resolver un acertijo.
  • Desde el blog El tao de la física nos dejan un curioso experimento donde consiguen hacer circular un triciclo de ruedas cuadradas. No os perdáis cómo se consigue usando un poco de geometría diferencial.
  • En el blog Desafíos Matemáticos nos dejan varios ejemplos de dónde se usa el hiperboloide en la construcción.
  • Nuestro amigo José Manuel en su blog Morvalets nos explica cómo las matemáticas son fundamentales en el tratamiento de imágenes. Por cierto ¿sabéis qué significa la fecha del subtítulo del blog “Localizando en tiempo y frecuencia desde 1642“?
  • El blog Scientia (casi tocayo nuestro :-)) nos deja un post sobre matemáticas y química.

Lunes 20 de Febrero:

  1. Desde el blog Sentido de la Maravilla nos hablan de las máquinas de Turing y de la obra del escritor Neal Stephenson (¡en algunas de sus obras llega a salir Newton!).
  2. Desde el departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la Universidad del País Vasco nos hablan de poesía y matemáticas.
  3. En Hoja y Números nos hablan de la función primorial, es decir, el producto de los primos menores que una cierta cantidad. Casualmente nuestra propia entrada trata de los números primos :-).
  4. Belén Palop en su blog “Reflexiones sobre la educación” nos explica cómo aparece la estadística (al trata con percentiles) en la pediatría.
  5. En Destejiendo el mundo nos explican cómo es posible que los mismos datos estadísticos apoyen tesis distintas haciendo unos ligeros cambios tan sólo.
  6. En Animando la Web nos explican cómo operaban los egipcios sin usar tablas de multiplicar.
  7. En Los matemáticos no son gente seria nos dan su opinión sobre el difícil tema de la enseñanza de las matemáticas a todos los niveles. Es este tema uno bien peliagudo y casi cualquier cosa que se diga sera inexacta en cuanto que al tratarse de un problema tan distinto según el nivel educativo nadie (al menos que yo conozca) tiene experiencia a todos los niveles. Ya puestos hasta voy a dejar una referencia y quizá escriba una entrada con mi opinión personal.
  8. Nosotros participamos con una entrada donde comentamos una nueva prueba de la infinitud de los números primos.
  9. En Números y algo más nos dejan como curiosidad cómo conseguir ecuaciones multigrado. Realmente sorprendente.
  10. Tito Eliatron nos recuerda la conocida anécdota de Bertrand Russel en el papel del Papa :-).
  11. En Espejo Lúdico nos proponen un acertijo basado en uno previo del conocido Sam Loyd.
  12. Desde Gaussianos nos dejan un entrada donde hablan de la serie armónica y su carácter divergente. También sale como estrella invitada la serie de los inversos de los cuadrados, es decir, el Problema de Basilea. Resulta que ahora mismo estamos escribiendo una entrada sobre el Problema de Basilea, con suerte estará para mañana totalmente acabada, y es que vamos a iniciar en este blog una serie de entradas dedicadas a ese tema (igual que ya hicimos con las Paradojas).
  13. La primera entrada que nos deja la Covacha Matemática. 

Martes 21 de Febrero:

  1. Rafalillo desde su blog nos deja una entrada donde explica el origen de la numeración.
  2. El departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias del País Vasco nos deja la observación de que la fecha de hoy es un palíndromo.
  3. ¡En Gaussianos nos dejan un reto! Un problema de cálculo de probabilidades muy interesante.
  4. Nuestra aportación sobre el problema de Basilea. Ésta es la primera de una serie de entradas.
  5. Desde Boadilla del Monte nos dejan una entrada sobre el interesante número de plástico, pariente del número áureo.
  6. Como ayer nos dejaron con ganas, hoy en Animando la Web nos traen la segunda entrada sobre la aritmética de los egipcios.

Miércoles 22 de Febrero:

  1. La tercera contribución de la Universidad del País Vasco. En ésta nos hablan de un concurso de encuadernado de libros donde ganó Jana Sim con una obra basada en la banda de Moëbius.
  2. Un divertido tres en raya que nos viene de parte de Tito Eliatron. Ésta faltaba del Martes… Se nos pasó.
  3. Gaussianos nos deja una entrada sobre cómo pintar caras sonrientes :-).
  4. Nuestra tercera aportación os cuenta ¡cómo experimentar un teorema!
  5. La última entrada es de Tito Eliatron y nos habla de los números trascendentes y su historia.
  6. La entrada de la Covacha Matemática sobre el binomio de Newton.
  7. Y otra entrada de la Covacha con explicando una aplicación de una EDO muy sencilla.
Jueves 23 de Febrero:
  1. Rolby Milián (ICMAT), como estrella invitada en este blog, participa en el carnaval con una entrada sobre Kurt Gödel.
  2. Gaussianos nos deja una entrada con una anécdota interesante de Kepler y Galileo.
  3. Desde Geometría Dinámica nos traen una entrada sobre geometría y su lenguaje.
  4. Juan de Mairena nos habla de Nahs y de sus cartas recientemente desclasificadas.
  5. En el Neutrino nos hablan de Julio Rey Pastor en el aniversario de su muerte.
  6. Desde la Universidad del País Vasco nos hablan de cómo recuerdan en Nature a Alan Turing.
  7. Nuestra aportación de hoy trata sobre un problema de Biología y cómo se usan las matemáticas para tratarlo.
  8. José Luis Rodríguez nos deja una entrada sobre poliedros y mosaicos.

Viernes 24 de Febrero:

  1. Luis, desde Imperio de la Ciencia, nos escribe sobre la magia del número i.
  2. Gaussianos vuelve a contribuir, esta vez con la solución al problema de los cien presos.
  3. Dr. Litos nos escribe en términos generales sobre la importancia de la estadística para no caer en el anumerismo o en engañifas.
  4. Además, acogemos a David Fernández (ICMAT) al publicar una entrada sobre los espacios de Móduli
  5. Siendo ésta su quinta aportación, la Universidad del Pais Vasco nos trae una entrada que mezcla moda y matemáticas.
  6. Tito Eliatrón nos deja una entrada sobre estadística y afirmaciones un “poco” exageradas.
  7. Imperio de la Ciencia nos deja una entrada sobre el número i y los complejos.
  8. El blog Experiencia docet nos deja una entrada sobre cuantización y matemáticas.
  9. Una entrada de la Covacha Matemática sobre cálculo de probabilidades.

Sábado 25 de Febrero:

  1. ZTF nos deja una nueva contribución. Ésta trata sobre un artista gráfico que trata de plasmar la aritmética más básica en su obra.
  2. Guassianos nos deja una entrada sobre la conjetura de Goldbach y la calidad de la educación.
  3. Desde pimedios nos llega una entrada dedicada al producto de Wallis.

Domingo 26 de Febrero:

  1. ZTFNews nos deja una entrada sobre el proyecto Tsunagari.
  2. Zurditorium nos deja una entrada donde ilustra posibles errores al simplificar en una expresión.
  3. El blog Series Divergentes nos deja una entrada sobre el Teorema de Bolzano-Weierstrass.
  4. La mula Francis nos deja una entrada sobre playas su aportación a las matemáticas.
  5. El mundo de las ideas nos deja un post sobre las matemáticas de los cristales.
  6. La última entrada de la covacha matemática, esta vez sobre grafos.

Para votar tenéis que dejar antes del 15 de Marzo, en un comentario en este mismo post, vuestra opinión y vuesto perfil de la comunidad bligoo.

 

–Actualización: He añadido las entradas de la Covacha Matemática que entraron en el plazo correcto.

Una introducción a los espacios de Móduli por David Fernández

Desde el año 1857 en el que Riemann usó la palabra ‘móduli’ como sinónimo de parámetro, los matemáticos la siguieron aplicando (de manera un tanto imprecisa) para designar aquellos parámetros que miden o describen la variación de objetos geométricos en Geometría Algebraica. Sin embargo, no fue hasta 1960 cuando David Mumford dio una definición formal y precisa de espacios de móduli y explicó cómo construirlos obteniendo soluciones en algunos casos.

¿Por qué nos interesan los espacios de móduli?

Aunque a algunas personas les gusta ver a los espacios de móduli como objetos geométricos cuyos puntos tienen significado, quizás una forma más intuitiva de concebirlos sea como un mapa o un dibujo de un cierto conjunto. Por ejemplo, si tenemos una lista de las 17 comunidades autónomas, sus tamaños y otra lista detallando qué estados son limítrofes, será difícil bosquejar cómo es nuestro país. Sin embargo, un mapa nos permitirá hacernos una idea realista del territorio. Por tanto, en este caso, un mapa de España sería el espacio de móduli de las autonomías.

Ingredientes para la construcción de un espacio de móduli

 Los espacios de móduli surgen de manera natural en los problemas de clasificación geométricos como sus soluciones geométricas. Un ejemplo típico (y real) de tales problemas es la clasificación de las curvas proyectivas complejas no singulares salvo isomorfismo (o equivalentemente, superficies de Riemann compactas salvo biholomorfismo).

 Un ‘espacio de móduli’ es una variedad compleja (o variedad algebraica) cuyos puntos corresponden (de manera natural) a las clases de equivalencia de los objetos que queremos clasificar. Por tanto, si queremos construir un espacio de móduli precisaremos de los siguientes ingredientes:

  1. Objetos: ¿Qué objetos geométricos nos gustaría describir o parametrizar?
  2. Equivalencias ¿Cuándo podemos decir que dos objetos son el mismo?
  3. Familias: ¿Cómo permitimos a nuestros objetos variar o modular?

 Cabe observar que para identificar dos objetos en Matemáticas debemos usar relaciones de equivalencia y definir así un cociente, operación no inmediata en Geometría Algebraica pues algunas sutilezas deben tenerse en cuenta. Si estamos trabajando con objetos que poseen ciertas propiedades queremos que el cociente disfrute de las mismas. Sin embargo, esto no suele ocurrir pues es habitual que en el cociente no se puedan separar puntos mediante entornos abiertos (no sea Haussdorff).

 Para solucionar estos problemas David Mumford desarrolló la Teoría Geométrica de Invariantes (GIT en sus siglas en Inglés) que resolvía estas cuestiones y que le valió la Medalla Fields en 1974. Su idea fue eliminar aquellos objetos ‘malos’ que nos daban problemas y construir así un objeto geométrico razonable que será el espacio de móduli. Por ejemplo, el espacio de móduli de las curvas proyectivas complejas no singulares existe pero si queremos incluir las singulares (quizás sea interesante comprender cómo las curvas no singulares pueden degenerar a aquellas singulares) debemos dejarlas fuera (las llamaremos órbitas inestables) y obtener así una variedad algebraica y, por tanto, un espacio de móduli.

 Un ejemplo, por favor

 Supongamos que queremos describir la colección de todas las rectas en el plano $latex\mathbb{R}^{2}$ que pasan por el origen (en adelante, por brevedad, rectas). Para empezar, una buena idea es encontrar un número que parametrice los objetos que queremos clasificar. En nuestro caso, si utilizamos coordenadas cartesianas, utilizaremos como parámetro el ángulo $\theta$ que forma la recta con el eje OX en sentido antihorario y no es difícil convencerse de que 0\leq\theta<\pi. Por tanto, como \textbf{conjunto} tenemos una solución completa de nuestro problema de clasificación ya que a cada una de las rectas del plano le corresponde un número del intervalo [0,\pi).

 Sin embargo, no podemos olvidar que estamos buscando una solución \textbf{geométrica} a nuestro problema de clasificación. Para ello, si dos rectas están cerca, sus ángulos deberán ser casi iguales y, por tanto, los puntos correspondientes en el intervalo deberían estar muy próximos. En particular, aquellas rectas L cuyo ángulo está cercano a $latex\pi$ son casi horizontales y son muy parecidas a aquellas rectas cuyo ángulo con respecto al eje OX es casi cero. Por tanto, si queremos encontrar una solución geométrica a nuestro problema, debemos encontrar alguna forma de pegar el intervalo [0,\pi) para que \pi esté cerca de 0.

Una forma de hacer esto es tomar el intervalo cerrado [0,\pi] en vez de [0,\pi) y entonces identificar los puntos 0 y \pi. Esta operación de pegado se hace en Matemáticas mediante una relación de equivalencia. Luego, si \pi y 0 se pueden ver como el mismo punto, entonces los números cercanos a \pi estarán próximos a los cercanos a 0. De esta forma obtenemos un círculo que es la solución geométrica de nuestro problema.

 Interacción con la Física

El procedimiento descrito más arriba de estudiar los invariantes o la Geometría no del espacio original sino de un espacio de móduli construido a partir de él se interpretó más tarde como un tipo de Teoría Cuántica de Campos traduciéndose en una interacción fructífera entre la Física y la Geometría. Por ejemplo, la interacción con la Teoría de Cuerdas en Física ha sido especialmente productiva para la Geometría Algebraica pues esta teoría requiere geometrías complicadas de dimensiones altas y, de hecho, precisan de aquellos espacios (variedades de Calabi-Yau) que no se han podido tratar por medio de los invariantes clásicos.

Bibliografía:

BEN-ZVI, D.D., Moduli Spaces, Princeton Companion to Mathematics, 2008.

GARCÍA-PRADA, O. Moduli Spaces and Geometric Structures. Apéndice en Differential Analysis on Complex Manifolds, 1972.

KIRWAN, F. Moduli Saces in Algebraic Geometry. Moduli Spaces in Mathematics and Physics, Hindawi, 1998.

Fdo: David Fernández

 –Nota: Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas en su edición 3.1 organizado esta vez en este blog.


Las matemáticas como ciencia experimental

Actualmente cuando uno piensa en problemas sin resolver en física piensa en la Teoría del Todo, en el bosón de Higgs o en los límites de validez de la mecánica cuántica. Sin embargo, existen problemas que son fáciles de entender que aún no tienen respuesta. Problemas que sólo involucran a la mecánica de Newton y que todavía no sabemos cómo atacar. Vamos a introducir el que nos ocupa con un experimento que puede ser fácilmente realizado en casa. Continue reading

Resumen del Carnaval de Matemáticas Edición 3.1

En esta entrada vamos a ir recopilando las entradas que han participado en el Carnaval de Matemáticas de Febrero.

Empezamos con las que aparecieron antes de tiempo:

Fuera de plazo (pero igualmente interesantes) :-):

  • Byron nos presenta un cuento a la usanza de las mil y una noches donde el protagonista ha de resolver un acertijo.
  • Desde el blog El tao de la física nos dejan un curioso experimento donde consiguen hacer circular un triciclo de ruedas cuadradas. No os perdáis cómo se consigue usando un poco de geometría diferencial.
  • En el blog Desafíos Matemáticos nos dejan varios ejemplos de dónde se usa el hiperboloide en la construcción.
  • Nuestro amigo José Manuel en su blog Morvalets nos explica cómo las matemáticas son fundamentales en el tratamiento de imágenes. Por cierto ¿sabéis qué significa la fecha del subtítulo del blog “Localizando en tiempo y frecuencia desde 1642“?
  • El blog Scientia (casi tocayo nuestro :-)) nos deja un post sobre matemáticas y química.

Lunes 20 de Febrero:

  1. Desde el blog Sentido de la Maravilla nos hablan de las máquinas de Turing y de la obra del escritor Neal Stephenson (¡en algunas de sus obras llega a salir Newton!).
  2. Desde el departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la Universidad del País Vasco nos hablan de poesía y matemáticas.
  3. En Hoja y Números nos hablan de la función primorial, es decir, el producto de los primos menores que una cierta cantidad. Casualmente nuestra propia entrada trata de los números primos :-).
  4. Belén Palop en su blog “Reflexiones sobre la educación” nos explica cómo aparece la estadística (al trata con percentiles) en la pediatría.
  5. En Destejiendo el mundo nos explican cómo es posible que los mismos datos estadísticos apoyen tesis distintas haciendo unos ligeros cambios tan sólo.
  6. En Animando la Web nos explican cómo operaban los egipcios sin usar tablas de multiplicar.
  7. En Los matemáticos no son gente seria nos dan su opinión sobre el difícil tema de la enseñanza de las matemáticas a todos los niveles. Es este tema uno bien peliagudo y casi cualquier cosa que se diga sera inexacta en cuanto que al tratarse de un problema tan distinto según el nivel educativo nadie (al menos que yo conozca) tiene experiencia a todos los niveles. Ya puestos hasta voy a dejar una referencia y quizá escriba una entrada con mi opinión personal.
  8. Nosotros participamos con una entrada donde comentamos una nueva prueba de la infinitud de los números primos.
  9. En Números y algo más nos dejan como curiosidad cómo conseguir ecuaciones multigrado. Realmente sorprendente.
  10. Tito Eliatron nos recuerda la conocida anécdota de Bertrand Russel en el papel del Papa :-).
  11. En Espejo Lúdico nos proponen un acertijo basado en uno previo del conocido Sam Loyd.
  12. Desde Gaussianos nos dejan un entrada donde hablan de la serie armónica y su carácter divergente. También sale como estrella invitada la serie de los inversos de los cuadrados, es decir, el Problema de Basilea. Resulta que ahora mismo estamos escribiendo una entrada sobre el Problema de Basilea, con suerte estará para mañana totalmente acabada, y es que vamos a iniciar en este blog una serie de entradas dedicadas a ese tema (igual que ya hicimos con las Paradojas).

Martes 21 de Febrero:

  1. Rafalillo desde su blog nos deja una entrada donde explica el origen de la numeración.
  2. El departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias del País Vasco nos deja la observación de que la fecha de hoy es un palíndromo.
  3. ¡En Gaussianos nos dejan un reto! Un problema de cálculo de probabilidades muy interesante.
  4. Nuestra aportación sobre el problema de Basilea. Ésta es la primera de una serie de entradas.
  5. Desde Boadilla del Monte nos dejan una entrada sobre el interesante número de plástico, pariente del número áureo.
  6. Como ayer nos dejaron con ganas, hoy en Animando la Web nos traen la segunda entrada sobre la aritmética de los egipcios.

Miércoles 22 de Febrero:

  1. La tercera contribución de la Universidad del País Vasco. En ésta nos hablan de un concurso de encuadernado de libros donde ganó Jana Sim con una obra basada en la banda de Moëbius.
  2. Un divertido tres en raya que nos viene de parte de Tito Eliatron. Ésta faltaba del Martes… Se nos pasó.
  3. Gaussianos nos deja una entrada sobre cómo pintar caras sonrientes :-).
  4. Nuestra tercera aportación os cuenta ¡cómo experimentar un teorema!
  5. La última entrada es de Tito Eliatron y nos habla de los números trascendentes y su historia.
Jueves 23 de Febrero:
  1. Rolby Milián (ICMAT), como estrella invitada en este blog, participa en el carnaval con una entrada sobre Kurt Gödel.
  2. Gaussianos nos deja una entrada con una anécdota interesante de Kepler y Galileo.
  3. Desde Geometría Dinámica nos traen una entrada sobre geometría y su lenguaje.
  4. Juan de Mairena nos habla de Nahs y de sus cartas recientemente desclasificadas.
  5. En el Neutrino nos hablan de Julio Rey Pastor en el aniversario de su muerte.
  6. Desde la Universidad del País Vasco nos hablan de cómo recuerdan en Nature a Alan Turing.
  7. Nuestra aportación de hoy trata sobre un problema de Biología y cómo se usan las matemáticas para tratarlo.
  8. José Luis Rodríguez nos deja una entrada sobre poliedros y mosaicos.

Viernes 24 de Febrero:

  1. Luis, desde Imperio de la Ciencia, nos escribe sobre la magia del número i.
  2. Gaussianos vuelve a contribuir, esta vez con la solución al problema de los cien presos.
  3. Dr. Litos nos escribe en términos generales sobre la importancia de la estadística para no caer en el anumerismo o en engañifas.
  4. Además, acogemos a David Fernández (ICMAT) al publicar una entrada sobre los espacios de Móduli
  5. Siendo ésta su quinta aportación, la Universidad del Pais Vasco nos trae una entrada que mezcla moda y matemáticas.
  6. Tito Eliatrón nos deja una entrada sobre estadística y afirmaciones un “poco” exageradas.
  7. Imperio de la Ciencia nos deja una entrada sobre el número i y los complejos.
  8. El blog Experiencia docet nos deja una entrada sobre cuantización y matemáticas.

Sábado 25 de Febrero:

  1. ZTF nos deja una nueva contribución. Ésta trata sobre un artista gráfico que trata de plasmar la aritmética más básica en su obra.
  2. Guassianos nos deja una entrada sobre la conjetura de Goldbach y la calidad de la educación.
  3. Desde pimedios nos llega una entrada dedicada al producto de Wallis.

Domingo 26 de Febrero:

  1. ZTFNews nos deja una entrada sobre el proyecto Tsunagari.
  2. Zurditorium nos deja una entrada donde ilustra posibles errores al simplificar en una expresión.
  3. El blog Series Divergentes nos deja una entrada sobre el Teorema de Bolzano-Weierstrass.
  4. La mula Francis nos deja una entrada sobre playas su aportación a las matemáticas.
  5. El mundo de las ideas nos deja un post sobre las matemáticas de los cristales.

Y con esto y un bizcocho… hemos acabado con esta edición. Próximamente las votaciones. Os dejo este video para amenizaros un ratillo:

PD: Si alguien nota que falta, por favor que nos avise.

Anuncio del Carnaval de Matemáticas de Febrero

En Scientia Potentia Est tenemos la suerte de albergar el Carnaval de Matemáticas de este mes de Febrero. Es la edición 3.1, así que estamos de cumpleaños. Esperamos que nos ayudéis a celebrar este cumpleaños con vuestras entradas.

El Carnaval tendrá lugar la semana del 20 al 26 de Febrero y un par de días después colgaremos un resumen de manera que tengáis todas las entradas juntitas para poder votar la que más os guste. Os recordamos cómo participar:

  • Primero escribes una entrada que tenga relación con las matemáticas en tu blog. Si no tienes blog puedes publicarlas en la web del Carnaval o, si nos la envías a “scientiapotentiaest (arroba) ambages (punto) es”, la podemos colgar en este blog. En tu entrada, y se publique donde se publique, has de indicar que participas en el Carnaval de Matemáticas y poner un enlace a la web del Carnaval y al blog que lo albergue, en este caso, el nuestro.
  • Ahora sólo queda decirnos a nosotros que habéis participado. Para eso os pedimos que nos mandéis un email a ”scientiapotentiaest (arroba) ambages (punto) es” con el enlace a la entrada. Y, además del email, podéis colgar dicho enlace en la página de facebook del Carnaval o en los comentarios de esta entrada.

Esperamos que todos os animéis a escribir entradas tan interesantes como las de las ediciones pasadas.

Resolviendo la ecuación de ondas…

Tradicionalmente los matemáticos que trabajamos en el área de ecuaciones en derivadas parciales estudiamos problemas que vienen de procesos físicos. Es el caso de la ecuación del calor, la ecuación de Poisson o la ecuación de ondas. En esta entrada vamos a exponer dos métodos para resolver la ecuación de ondas. Estos métodos al tener un planteamiento distinto dan una información distinta. Veremos así diferencias entre pensar en las ecuaciones sólo o pensar en el fenómeno que modelizan. La ecuacion de ondas es
\displaystyle\partial_t\partial_t u=\partial_x\partial_x u,
junto a dos valores iniciales (tiene dos derivadas en tiempo) y las condiciones de contorno, que aquí tomamos dirichlet homogéneas. Esta ecuación refleja la separación del equilibrio de la cuerda en tiempo t y en el punto x.
Jean Le Rond D’Alembert demostró que si consideramos toda la recta (es decir, sin contornos) entonces podemos escribir la solución como una superposición de ondas, una que viaja hacia la derecha y otra que viaja hacia la izquierda. Estas ondas se escriben en función de los valores iniciales. Podemos hacer lo mismo en dominios acotados o semi acotados, pero es más lío.
Esta aproximación es puramente teórica, muchas ecuaciones admiten solución en forma de onda viajera (por ejemplo la de Fisher-Kolmogorov, \partial_t u=\partial_x\partial_x u +u(1-u) ). En este caso podemos esperarlo si observamos que podemos ‘factorizar’ el operador como dos operadores de transporte   Continue reading