He hablado un poco de las cosas que he estado haciendo estos casi 3 años que llevo con la tesis (ver las diapositivas aquí PizzaWorkingSeminar). Es decir, he tratado problemas de frontera libre que surgen en el movimiento de fluidos incompresibles en medios porosos inhomogéneos. Así, por ejemplo, he explicado entre otras cosas, cuándo este tipo de olas puede tener singularidades

Y también cuando es de esperar que no.

Además he comparado diversos modelos existentes. Por ejemplo he comparado el caso homogéneo con profundidad infinita con el caso homogéneo con profundidad finita (puede argumentarse que las fronteras del dominio serían zonas de permeabilidad nula y por lo tanto el problema sería inhomogéneo… pero dejémoslo estar)

También he comparado casos con distinta permeabilidad

Todos estos problemas son interesantes, por ejemplo, de cara a la obtención de energía. En efecto, si uno quiere extraer petróleo lo que se suele hacer es inyectar agua a presión de manera que ésta lo desplaza, expulsándolo (ver aquí). Otra fuente de energía, esta vez mucho menos conocida, es la energía geotérmica (ver aquí). Ahí típicamente se tiene una zona de permeabilidad altísima, una de permeabilidad más normal y ambas se encuentran acotadas por capas impermeables. Ahí se tiene que el agua está muy caliente debido al calor propio del núcleo de la Tierra y por lo tanto puede aprovecharse para obtener electricidad.

–Nota: La portada hay que agradecérsela a Elena Hontangas Martínez

–Nota 2: Parece mentira la cantidad de cuadros que hay dedicados exclusivamente a las olas. Será la única cosa que tengan en común matemáticos y artistas en sus respectivos trabajos…

En la época estaban interesados en calcular áreas delimitadas por curvas. Es un problema grande, que enlaza con el cálculo de . Arquímedes consideró un segmento de parábola y el área que encierra. Para calcular el área dijo, bueno, si sé calcular el área de triángulos, entonces lo que tengo que hacer es ‘tapar’ el segmento de parábola con triángulos. Esto hizo, y observo que los trozos que quedabas sin tapar en realidad volvías a ser segmentos de parábola, por lo que se podría repetir. Así llegó a una serie geométrica de razón un cuarto INFINITA. También es la primera vez que se suma una serie infinita.

Veamos otro ejemplo del método. Arquímedes quería calcular . Entonces lo que hace es considerar un círculo de radio uno. Su área es . Ahora veis por donde va. Como sabe calcular áreas de polígonos ‘tapa’ con hexágonos el círculo. Razona que si el hexágono está fuera, entonces el área será mayor, mientras que si el círculo tapa al hexágono será menor. Obviamente tanto los hexágonos como el círculo son concéntricos. Ahora el límite viene al hacer crecer el número de lados, con lo que ambas aproximaciones a  (por arriba y por abajo) se van haciendo más y más precisas. Este proceso en el límite te da  sin ningún error, pero en la ‘práctica’ te lo da con el error que tu quieras. Digamos que hay un cambio filosófico entre ambas afirmaciones. Aquí podríamos hablar de cómo afecta la noción de observable físico a esto, hasta qué punto debemos preguntarnos por LA realidad y hasta donde sobre LA PARTE de realidad que podemos conocer. Concluimos diciendo que un ordenador, usando Matlab, si no se le dan instrucciones específicas tiene 16 decimales guardados. Con este método y paciencia podríamos acercarnos tanto a  que engañásemos al ordenador.

Esto es en cuanto a límites e integrabilidad. Para la derivabilidad es lo mismo.

Tenemos una función y vamos trazando secantes entre dos puntos, ahora tomamos el límite cuando un punto se acerca al otro. Así obtenemos la tangente. Entonces, cuando hacemos cálculo numérico, y queremos estimar una derivada, por ejemplo en problemas de transferencia de calor, lo que hacemos es considerar una ‘diferencia finita’, esto es un cociente como los de la definición de derivada, pero con un pasito pequeño, sin tender al límite. con h pequeño.

Veamos un último caso de la importancia de los límites, este más bien modesto, sólo trataremos con los números.

¿Alguien se ha preguntado cómo se definen los números? Bueno el proceso axiomático es el siguiente. Se definen los naturales por medio de los axiomas de Peano. Después con una relación de equivalencia y apoyándonos en los naturales definimos los enteros. Ahora los racionales vienen de los enteros con una relación de equivalencia parecida. ¿Y los reales?. Aquí el método no funciona. Los reales no se definen con ninguna relación de equivalencia como las anteriores, sino que se definen para ‘completar’ (uno que sepa más que las mates básicas se dará cuenta de que no debería haber comillas). Veamos un ejemplo de lo que quiero decir. Sabemos desde lo que hizo el pobrecillo de Hipaso de Metaponto que raíz de dos es irracional, por lo tanto no estará en los racionales. Sin embargo, hay racionales tan cerca como queramos, por ejemplo la sucesión 1.4,1.41,… (cada vez añadimos una cifra de la expansión decimal de raíz de dos) tiende a raíz de dos. Entonces si hubiese justicia en el mundo deberíamos considerar un conjunto mayor de números (los reales) donde si una sucesión contenida tiende a un número este número también esté en el conjunto. Así se definen los reales, como el límite de las sucesión de racionales.

Menuda parrafada. Pero, ¿a qué viene esto? Bueno, es que me he percatado de que en ocasiones se da una definición intuitiva pero errónea. La susodicha definición en el caso de una sucesión es:

Se dice que una sucesión tiene límite L si al tomar sucesivos términos de la sucesión nos vamos acercando a L.

Ahí van dos contradicciones que se me ocurren rápido. Sea la sucesión dada por 0.9, 0.99, 0.99, 0.999… Si hacemos caso de la definición anterior el límite sería 1000, porque cada vez estoy más cerca de ese número. ¡Anda, pero si también vale con 100!. Entonces el límite así definido ni siquiera es único. Por cierto, el verdadero límite es 1, como veremos luego.

Veamos la definición correcta.

Se dice que una sucesión tiene límite a si para todo (DADO) se tiene que existe un tal que para todo se cumple .

Veamos qué dice esto tan raro. Pensemos en nuestra recta real, donde marcamos unas cruces en los números que estén en nuestra sucesión. Entonces DADO un número POSITIVO (es una distancia) lo que ha de ocurrir es que todos los términos de la sucesión a partir de uno estén a una distancia menor que de a. O lo que es lo mismo, que estén entre y . O lo que es lo mismo, que en a podamos poner una bola de radio y de manera que nos tape siempre un número infinito de términos de la sucesión, o lo que es lo mismo, que deje fuera sólo un número finito. Es muy importante observar que esto ha de cumplirse para todo .

Veamos unos ejemplos.

La misma sucesión de antes, 0.9, 0.99… Supongamos que el límite es 1000, entonces elegimos . Se cumple que tapamos a nuestra sucesión, ¿dónde está el problema?. La contradicción viene en el PARA TODO . Si elegimos en lugar de lo elegimos ya no se cumple. Supongamos ahora que el límite es 1. Elegimos . Entonces se tiene que nuestra ‘bola’ tapa a todos los elementos menos a uno de la sucesión. Esto, como hemos visto antes no demuestra que el límite sea 1. Elijamos otro , por ejemplo, 0.001. Podemos repetir lo anterior. Vamos a por el caso general. Ánimo. Sea fijo. Entonces debemos calcular nuestro . Se tiene siempre que .

Varias observaciones:

1) Nuestro en realidad depende de varias cosas. Se tiene . Es decir, lo normal es que, fija la sucesión, cuanto más pequeño sea nuestro más grande tenga que ser nuestro .

Los científicos extraen un bastón fotorreceptor que, cuando se expone a la luz, genera una corriente de iones . Si esta célula estuviese en un ojo, la señal producida por esta célula sería transportada y procesada por el sistema nervioso, pero en este trabajo se amplifica y se mide utilizando sistemas electrónicos.

Anteriormente, se han realizado experimentos que muestran que la sensibilidad de estas células es enorme: ¡pueden llegar a detectar un único fotón! (esta es la razón por la que son las encargadas de la visión en la oscuridad). Sin embargo, medir la estadística de la luz utilizada para hacer las medidas o bien no era de interés o bien era muy difícil de obtener (dado que utilizaban muchas células, en vez de una sola)

Usualmente, la detección de fotones se lleva a cabo en materiales como semiconductores (fotodiodos), superconductores (SQUID), fotomultiplicadores, etc; pero todavía no existen materiales orgánicos en los que se haya demostrado que se puede medir la estadística de fotones.

Pero… ¿por qué iba uno a querer medir eso? Cuando tenemos una ciencia relacionada con la luz y le ponemos “cuántica” detras (óptica cuántica, computación cuántica, comunicación cuántica) la estadística de los fotones juega un papel crucial, pues es la estadística “no clásica” la que posibilita operaciones que no serían posibles bajo condiciones usuales.

En este estudio solo han sido medidas estadísticas “clásicas”, pero el siguiente paso sería ir a estadísticas “no clásicas” y observar el resultado.

El artículo, en inglés, aquí:
http://prl.aps.org/abstract/PRL/v109/i11/e113601   (aquí la versión “de gratis” en el arXiv: http://arxiv.org/abs/1201.2792 )

y la nota de prensa:
http://phys.org/news/2012-09-retinal-rods-photon.html

A class of singular 3D-velocity vector fields of finite energy is constructed which satisfy the incompressible 3D-Euler equation. It is shown that such a solution scheme does not exist in dimension 2. The solutions constructed are smooth up to finite time where they become singular.

Es decir, afirman haber conseguido soluciones de Euler 3D que son suaves hasta un tiempo finito donde se vuelven singulares. Esto es un teoremazo de ser cierto. Sin embargo, al abrir interesado el artículo empiezan las dudas. El argumento parece ser considerar una familia de soluciones dada por

y ver qué han de satisfacer dichas para que satisfaga las ecuaciones de Euler. Observamos que para esta familia se tiene que

Aquí es donde entra la conjetura de Onsager. Dicha conjetura dice que si es un campo de velocidades suficientemente regular (más regular que Hölder-1/3) entonces la norma (que es la cantidad descrita anteriormente en (1)) se conserva. Si no

”…in three dimensions a mechanism for complete dissipation of all kinetic energy, even without the aid of viscosity, is available.” Lars Onsager

Se sabe que si la solución es regular conserva la energía, (es un artículo de Constantin, E y Titi de los años 90) mientras que un reciente artículo de C. De Lellis y L. Székelyhidi Jr. se prueba que existen soluciones Hölder-1/10 que no conservan la energía cinética (ver (1)).

Es decir, o a mí se me está escapando algo o (1) es incompatible con lo que se conoce.

–Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas en su edición 26, organizado esta vez por ZTFNews.

El problema de Basilea es calcular la suma de la serie

Veamos qué hizo Euler llegados a este punto. Tenemos que recordar que si tenemos un polinomio

cuyas raíces (reales) son

Con esto en mente observamos que

Así Euler escribe, usando la serie de Taylor,

de donde, si dividimos por x y suponemos que podemos usar la propiedad anterior de los polinomios para una serie de potencias, obtenemos

y ahora, igualando con (2), obtenemos el resultado

Éste resultado es correcto, pero tiene un enorme “pero”: el argumento es erróneo. No se puede hacer ese desarrollo como producto de las raíces para series. Por ejemplo podemos considerar

que, por tener las mismas raíces que el seno, ¡debería tener el mismo producto infinito! Esta prueba fue muy criticada por la comunidad y Euler siguió trabajando en desarrollos de productos infinitos para el seno de manera que pudiese acallar las quejas con una demostración completamente rigurosa y no sólo con un escueto “pues mi aproximación y el valor exacto que he calculado son iguales…”, pero eso lo dejaremos para otro día…

–Referencias:

Rafael Granero Belinchón, El problema de Basilea: Historia y algunas demostraciones. La Gaceta de la RSME, vol 12, num 4, pag 721-737, 2009.

E. Sandifer, Basel Problem with Integrals, MAA Online, 2004, disponible aquí.

Y aquí un conversor entre fórmulas de Latex e imágenes.

–Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas en su edición 26, organizado esta vez por ZTFNews.

¿Cómo de importante es el lecho marino para las olas en la superficie?

Así tenemos que estudiar el problema de la evolución de la interfase entre dos fluidos cuando dichos fluidos se encuentran en un medio poroso acotado y, tras hacer unas simulaciones para ver por dónde iban los tiros, dimos los primeros pasos en el estudio matemático del problema. Sin embargo, pese a que en las simulaciones observamos grandes diferencias en los primeros resultados matemáticamente rigurosos no capturamos esos fenómenos.

La primera pregunta que nos hacemos es ¿cuál es la evolución de la amplitud máxima de la ola? Para ellos lo que hacemos es estudiar

Lo que conseguimos probar es

o, lo que es lo mismo, que la amplitud no puede crecer con el tiempo. Este resultado es idéntico al caso donde la profundidad es infinita. Sin embargo en las simulaciones habíamos visto que las diferencias a este nivel eran grandes:

Lo que ocurre es que la velocidad a la que cae la amplitud es distinta. En el caso de profundidad infinita tenemos

donde es la ola inicial. En el caso de un medio acotado la amplitud evoluciona según

Así hemos obtenido la primera diferencia importante: la interfase en el caso de profundidad finita decae más despacio. 

Ahora cabe preguntarse ¿cómo evoluciona ? Esta cantidad nos da una idea de cómo es la longitud de onda. Sabemos que en el caso donde el medio no está acotado se tiene que

si entonces 

En el caso de que el medio tenga profundidad finita tenemos una condición (razonablemente complicada y que escribiremos ) que involucra no sólo a  si no también a :

si entonces 

Una consecuencia de esto es que si esa condición se satisface y entonces tenemos una cota superior para  y por lo tanto la ola no puede romper.

Bueno, ahora que sabemos cuándo la interfase no rompe cabe preguntarse si hay alguna situación en la que la interfase rompa. Y efectivamente obtenemos que hay datos tales que pasa lo siguiente:

Es más, podemos probar mediante una prueba asistida con ordenador, que existen datos iniciales tales que sólo rompen cuando la profundidad es finita. Es decir, que el fondo ayuda a que las olas rompan. Y si bien hemos probado estos teoremas en el caso de fluidos moviéndose en un medio poroso estos dos últimos resultados se pueden probar gratis para el caso de las water waves, i.e. la interfase entre un fluido incompresible e irrotacional siguiendo las ecuaciones de Euler y el aire.

–Referencias:

D. Córdoba, RGB, R.Orive, The confined Muskat problem: differences with the deep water regime.

–Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas en su edición 26, organizado esta vez por ZTFNews.

–Nota 2: Con esta entrada participamos también en el Carnaval de Física en su edición XXXIV que organiza Hablando de Ciencia.

“Un guijarro en el lecho de un pobre arroyuelo puede mudar el curso de un río”.

Parece una exageración y sin duda lo es, pero sirve para que nos hagamos la siguiente pregunta:

¿Cómo de importante es el lecho marino para las olas en la superficie?

Ésta es la pregunta que tratamos de contestar en este artículo. El problema que queremos entender es, dados dos fluidos incompresibles en un medio poroso acotado, ¿cómo se comporta la interfase entre ambos y que diferencias presenta con el caso en el que el medio no esta acotado? Bueno, vamos a trasladar ese problema físico a ecuaciones en derivadas parciales. Tenemos una densidad que presenta dos valores según estemos por encima o por debajo de la interfase, que denotamos por ,

Que los fluidos sean incompresibles y se muevan en un medio poroso acotado quiere decir que el dominio espacial de los fluidos es 

y que la velocidad satisface la Ley de Darcy y la condición de incompresibilidad

Estas ecuaciones se puede trasladar a una única ecuación para la interfase:

Ahora que tenemos el problema cabe preguntarnos si el hecho de que el dominio sea y no cambia mucho la situación. Para hacernos una idea podemos hacer unas simulaciones numéricas preliminares. Para ello consideramos un dato inicial y lo hacemos evolucionar en el caso donde el medio tiene profundidad finita (caso acotado) y también en el caso en el que el medio tiene una profundidad infinita (caso no acotado). Por supuesto el resto de los parámetros físicos son los mismos en ambas evoluciones. Así observamos lo siguiente

(Si no ves bien las imágenes pincha en ellas para hacerlas más grandes)

Parece claro a la vista de estos resultados que el hecho de que el medio esté acotado o no es relevante para las olas.

Una vez que tenemos el problema propuesto tenemos que empezar a sacar teoremas . Evitando tecnicismos lo primero que probamos es

1) (Existencia y unicidad) que si el fluido de arriba es más ligero que el que está abajo el problema tiene una solución.

1.b) (Existencia y unicidad 2) que si el fluido de arriba es más pesado que el de abajo pero la interfase inicial es analítica existe una solución.

2) (Efecto regularizante) que dicha solución se vuelve muy regular (analítica) para cualquier (compárese con la ecuación del calor aquí.)

De momento estos 3 teoremas son idénticos en su enunciado a los teoremas cuando la profundidad es infinita. ¿Sorprendido? Bueno, esto sólo quiere decir que para probar matemáticamente las diferencias que hemos visto en los vídeos y las imágenes anteriores tenemos que trabajar un poco más, así que sed pacientes y esperad a la siguiente entrada .

Bueno, si os veis muy impacientes podéis leer (o, en su caso, releer) ésta, ésta y esta entrada.

–Referencias:

D. Córdoba, RGB, R.Orive, The confined Muskat problem: differences with the deep water regime.

–Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas en su edición 26, organizado esta vez por ZTFNews.

–Nota 2: Con esta entrada participamos también en el Carnaval de Física en su edición XXXIV que organiza Hablando de Ciencia.

Supongamos que tenemos un euro y que lo invertimos a un año con un interés del 100%. En éste caso nuestro euro al acabar de comernos las uvas se habrá convertido en dos euros. Si ahora consideramos que nuestra inversión tiene la mitad de interés (50%) pero que se paga cada 6 meses entonces a mitad de año tendremos euros que invertimos de nuevo y obtenemos, tras comernos las uvas . Ahora supongamos que dividimos el tiempo tanto como queramos y vamos invirtiendo de nuevo lo que obtenemos, entonces, nuestra inversión se calcula como  y se aproxima a 2,7182. ¿Os suena éste número o la expresión? Pues debería, ¡es el límite que define el número e que se estudia en bachiller! (al menos yo lo hice…)

–Nota: Sí, ya lo sabemos, esta entrada es una birria y además muy corta… Peeeeero prometemos escribir (al menos una y con suerte dos entradas) sobre Euler y el problema de Basilea para el Carnaval de Matemáticas que organiza esta vez ZTFNews. Y si queréis leer alguna curiosidad más sobre el número e para ir abriendo boca podéis empezar por la Wikipedia que tiene un artículo listando muchas de ellas.

Este señor era ingeniero del ejército y trabajó junto a Juan de la Cierva o a Leonardo Torres Quevedo (éste último fue matemático). La calidad de sus colaboradores ya nos indica su buen nivel (Juan de la Cierva inventó el autogiro y Leonardo Torres Quevedo el primer aparato controlado por radio). Que además de ser un gran ingeniero era extraordinario a otros niveles nos lo indica el hecho de que, antes de unirse a la República, pidiese al rey Alfonso XIII que le liberase de su juramento de fidelidad.

En lo científico su logro más importante es el diseño de un traje precursor de los trajes espaciales (cito de aquí):

Cuando la primera nave pisó el suelo de la Luna, Neil Armstrong recordó a Herrera, según relataría el español Manuel Casajust Rodríguez: “Me dijo que de no ser por el invento de mi maestro nunca habría llegado a la Luna”, explicó el discípulo a su regreso a España desde Cabo Cañaveral, donde Armstrong le regaló en señal de gratitud una de las rocas cosechadas en la superficie lunar durante su viaje.

Según refirió su ayudante, el piloto Antonio García Borrajo: “Cuando los norteamericanos le ofrecieron a Herrera trabajar para su programa espacial con un cheque sin limitaciones en ceros, él pidió que una bandera española ondeara en la Luna, pero le dijeron que sólo ondearía la de Estados Unidos”. Herrera rechazó la oferta.

Cuando Franco ganó la guerra civil se exilió fuera de España y vivió de sus patentes y colaborando con instituciones extranjeras como la Academia de Ciencias francesa o la UNESCO. Y para acabar de rematar su trayectoria ¡hasta fue presidente del gobierno republicano en el exilio!

Espero que os haya parecido un tipo tan genial como a mi mismo.

–Nota: La foto que ilustra esta entrada la he sacado de aquí.

–Nota 2: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Física en su edición XXXIV que organiza Hablando de Ciencia.

El tema (la forma de gotas de agua sobre superficies) es interesante sobre todo en lo referente al diseño de materiales hidrófobos (aka, que no se mojan) o hidrófilos (aka, que se empapan rápidamente). Una de las características importantes es el ángulo de contacto que forma la superficie de una de estas gotas de agua con la superficie plana del material, que depende de una cantidad que se llama “energía superficial”.

Una superficie con una baja “energía superficial” tenderá a formar gotas redonditas, mientras que una con mayor energía superficial esparcirá la gota.

Cuando la energía superficial del material es baja (o hay "poca afinidad"), el líquido tiende a formar gotas redondas

Si la energía superficial es alta, no obstante, el líquido tiende a "desparramarse", y el ángulo de incidencia de la gota con la superficie es muy bajo

Estas gotas tienen una superficie “bien definida” cuando están en reposo, pero cuando vibran lo hacen como la superficie de un tambor: cuando produce sonidos, la superficie resuena en diversos “modos”, dependiendo de la frecuencia a la que suene. Para frecuencias específicas, esos modos son “limpios”, y son llamados “modos normales” de vibración. Estos modos normales dependen, fundamentalmente, de la geometría, aunque las frecuencias a las que se encuentran dependen también del material.

En el siguiente video, podemos ver qué es lo que ocurre cuando hacemos vibrar una placa cuadrada con un altavoz. Las vibraciones producidas por el altavoz hacen que la placa intente subir y bajar, pero al igual que una cuerda no sube y baja de manera constante cuando la agitamos, la placa produce “ondas” en la superficie cuyos nodos pueden verse con los granos blancos.

En nuestro estudio (o más bien, observación), nos limitamos a poner una/s gota/s de agua coloreada sobre unas cintas de teflon (las mismas que se utilizan para aislar las juntas en las tuberías). Estas cintas estaban sujetas a un altavoz, de modo que las vibraciones producidas por el altavoz (conectado a un generador de frecuencias y un amplificador) se transmitían a la gota, que a su vez intentaba subir y bajar al unísono con las tiras.

Una gota de agua está apoyada sobre unas cintas de teflón sujetas a un altavoz. Las vibraciones del altavoz provocan vibraciones en la gota.

Usualmente, cuando científicos realizan este estudio, cuentan con cámaras ultrarrápidas que pueden grabar varias decenas o centenares de miles de fotogramas por segundo (fps), permitiéndoles captar cada instante del movimiento. No obstante, nosotros no contábamos con este material, y a simple vista no se puede discernir nada de lo que está ocurriendo, pues las vibraciones producidas en la superficie de la gota son demasiado rápidas para el ojo humano (que puede distinguir, aproximadamente 25 fps).

Sin embargo, uno podría ser capaz de observar esas vibraciones sirviéndose de un “truco” llamado aliasing.

El teorema de Nyquist-Shannon nos dice que para obtener la información completa de una señal periodica necesitamos muestrearla a, al menos,  a una frecuencia que sea el doble de la mayor frecuencia del sistema.

Esto quiere decir lo siguiente: si quieremos ver algo que se mueve muy rápido de manera completa, necesitamos “muestrear” (mirar) más rápido de lo que la señal cambia. De otro modo, podríamos “confundir” la señal con otra de menor frecuencia en lo que se llama “aliasing“.

Podemos ver esto cuando observamos una rueda que está girando cada vez más rápido. Llega un punto, cuando va muy deprisa, que parece que las llantas se van parando hasta quedarse “inmóviles” a nuestros ojos. Si se acelera un poco más, las llantas parecen girar en sentido contrario.

Pues bien, podemos jugar con estas frecuencias para reducir de manera efectiva la velocidad a la que vemos suceder los acontecimientos y observar estas vibraciones periodicas que, de otra manera, serían demasiado rápidas. Para ello, lo único que necesitamos es una fuente de luz a la que podamos variar la frecuencia, como un estroboscopio o una lámpara con un disco giratorio de velocidad ajustable con agujeros para que pase la luz a intervalos regulares de tiempo. En morvalets tenéis una entrada que explica este fenómeno de manera bastante clara.

Así pues, sin más dilación, os dejo con el video que tomamos con una simple webcam.

(Advertencia! El video es extremadamente largo, pero aunque hay algunas anotaciones, merece especial mención el rato a partir del momento 1:05:45.)