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Problemas de frontera “no-tan-libre”

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Resulta que en el Instituto de Ciencias Matemáticas hay un “Working Pizza Seminar“, (además del enlace “oficial” aquí se puede ver el enlace al blog del ICMAT) es decir, un sitio donde se dan charlas informales sobre temas de investigación actual y, además, te dan pizza para comer, y hoy he torturado hablado yo.

He hablado un poco de las cosas que he estado haciendo estos casi 3 años que llevo con la tesis (ver las diapositivas aquí PizzaWorkingSeminar). Es decir, he tratado problemas de frontera libre que surgen en el movimiento de fluidos incompresibles en medios porosos inhomogéneos. Así, por ejemplo, he explicado entre otras cosas, cuándo este tipo de olas puede tener singularidades

Y también cuando es de esperar que no.

Además he comparado diversos modelos existentes. Por ejemplo he comparado el caso homogéneo con profundidad infinita con el caso homogéneo con profundidad finita (puede argumentarse que las fronteras del dominio serían zonas de permeabilidad nula y por lo tanto el problema sería inhomogéneo… pero dejémoslo estar)

También he comparado casos con distinta permeabilidad

Todos estos problemas son interesantes, por ejemplo, de cara a la obtención de energía. En efecto, si uno quiere extraer petróleo lo que se suele hacer es inyectar agua a presión de manera que ésta lo desplaza, expulsándolo (ver aquí). Otra fuente de energía, esta vez mucho menos conocida, es la energía geotérmica (ver aquí). Ahí típicamente se tiene una zona de permeabilidad altísima, una de permeabilidad más normal y ambas se encuentran acotadas por capas impermeables. Ahí se tiene que el agua está muy caliente debido al calor propio del núcleo de la Tierra y por lo tanto puede aprovecharse para obtener electricidad.

–Nota: La portada hay que agradecérsela a Elena Hontangas Martínez :-)

–Nota 2: Parece mentira la cantidad de cuadros que hay dedicados exclusivamente a las olas. Será la única cosa que tengan en común matemáticos y artistas en sus respectivos trabajos…

Sobre las singularidades en Euler y la conjetura de Onsager

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Hace algún tiempo escribíamos (ver aquí) sobre un modelo de las ecuaciones de Euler en 3d. La historia de este artículo acabó pronto porque había un error y lo retiraron. Hoy ha aparecido un artículo en Arxiv donde afirman que

A class of singular 3D-velocity vector fields of finite energy is constructed which satisfy the incompressible 3D-Euler equation. It is shown that such a solution scheme does not exist in dimension 2. The solutions constructed are smooth up to finite time where they become singular.

Es decir, afirman haber conseguido soluciones de Euler 3D que son suaves hasta un tiempo finito donde se vuelven singulares. Esto es un teoremazo de ser cierto. Sin embargo, al abrir interesado el artículo empiezan las dudas. El argumento parece ser considerar una familia de soluciones dada por

v_i(x,t)=\frac{f_i(x)}{t-1},

y ver qué han de satisfacer dichas f_i(x) para que v satisfaga las ecuaciones de Euler. Observamos que para esta familia se tiene que

\int_{\mathbb{R}^3}|v(x,t)|^2dx=(t-1)^{-2}\int_{\mathbb{R}^3}|f(x)|^2dx\rightarrow \infty\text{ as }t\rightarrow1. \quad (1)

Aquí es donde entra la conjetura de Onsager. Dicha conjetura dice que si v es un campo de velocidades suficientemente regular (más regular que Hölder-1/3) entonces la norma L^2 (que es la cantidad descrita anteriormente en (1)) se conserva. Si no

”…in three dimensions a mechanism for complete dissipation of all kinetic energy, even without the aid of viscosity, is available.” Lars Onsager

Se sabe que si la solución es regular conserva la energía, (es un artículo de Constantin, E y Titi de los años 90) mientras que un reciente artículo de C. De Lellis y L. Székelyhidi Jr. se prueba que existen soluciones Hölder-1/10 que no conservan la energía cinética (ver (1)).

Es decir, o a mí se me está escapando algo o (1) es incompatible con lo que se conoce.

–Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas en su edición 26, organizado esta vez por ZTFNews.

Problemas de frontera “no-tan-libre” en dinámica de fluidos: las diferencias

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En esta entrada tratamos de presentar de manera sencilla la siguiente pregunta

¿Cómo de importante es el lecho marino para las olas en la superficie?

Así tenemos que estudiar el problema de la evolución de la interfase entre dos fluidos cuando dichos fluidos se encuentran en un medio poroso acotado y, tras hacer unas simulaciones para ver por dónde iban los tiros, dimos los primeros pasos en el estudio matemático del problema. Sin embargo, pese a que en las simulaciones observamos grandes diferencias en los primeros resultados matemáticamente rigurosos no capturamos esos fenómenos.

La primera pregunta que nos hacemos es ¿cuál es la evolución de la amplitud máxima de la ola? Para ellos lo que hacemos es estudiar

Lo que conseguimos probar es

o, lo que es lo mismo, que la amplitud no puede crecer con el tiempo. Este resultado es idéntico al caso donde la profundidad es infinita. Sin embargo en las simulaciones habíamos visto que las diferencias a este nivel eran grandes:

Lo que ocurre es que la velocidad a la que cae la amplitud es distinta. En el caso de profundidad infinita tenemos

donde f_0(x)=f(x,0) es la ola inicial. En el caso de un medio acotado la amplitud evoluciona según

Así hemos obtenido la primera diferencia importante: la interfase en el caso de profundidad finita decae más despacio. 

Ahora cabe preguntarse ¿cómo evoluciona \max_x|\partial_x f(x,t)|? Esta cantidad nos da una idea de cómo es la longitud de onda. Sabemos que en el caso donde el medio no está acotado se tiene que

si \max_x|\partial_x f(x,0)|<1 entonces \max_x|\partial_x f(x,t)|<\max_x|\partial_x f(x,0)|\;\; \forall t>0.

En el caso de que el medio tenga profundidad finita tenemos una condición (razonablemente complicada y que escribiremos F) que involucra no sólo a \max_x|\partial_x f(x,0)| si no también a \max_x|f(x,0)|:

si F(\max_x|\partial_x f(x,0)|,\max_x|f(x,0)|)\leq 0 entonces \max_x|\partial_x f(x,t)|\leq\max_x|\partial_x f(x,0)|\;\; \forall t>0.

Una consecuencia de esto es que si esa condición se satisface y entonces tenemos una cota superior para \max_x|\partial_x f(x,t)| y por lo tanto la ola no puede romper.

Bueno, ahora que sabemos cuándo la interfase no rompe cabe preguntarse si hay alguna situación en la que la interfase rompa. Y efectivamente obtenemos que hay datos tales que pasa lo siguiente:

Es más, podemos probar mediante una prueba asistida con ordenador, que existen datos iniciales tales que sólo rompen cuando la profundidad es finita. Es decir, que el fondo ayuda a que las olas rompan. Y si bien hemos probado estos teoremas en el caso de fluidos moviéndose en un medio poroso estos dos últimos resultados se pueden probar gratis para el caso de las water waves, i.e. la interfase entre un fluido incompresible e irrotacional siguiendo las ecuaciones de Euler y el aire.

–Referencias:

D. Córdoba, RGB, R.Orive, The confined Muskat problem: differences with the deep water regime.

–Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas en su edición 26, organizado esta vez por ZTFNews.

–Nota 2: Con esta entrada participamos también en el Carnaval de Física en su edición XXXIV que organiza Hablando de Ciencia.

Problemas de frontera “no-tan-libre” en dinámica de fluidos: primeros pasos

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Decía el señor Swett Marden que

“Un guijarro en el lecho de un pobre arroyuelo puede mudar el curso de un río”.

Parece una exageración y sin duda lo es, pero sirve para que nos hagamos la siguiente pregunta:

¿Cómo de importante es el lecho marino para las olas en la superficie?

Ésta es la pregunta que tratamos de contestar en este artículo. El problema que queremos entender es, dados dos fluidos incompresibles en un medio poroso acotado, ¿cómo se comporta la interfase entre ambos y que diferencias presenta con el caso en el que el medio no esta acotado? Bueno, vamos a trasladar ese problema físico a ecuaciones en derivadas parciales. Tenemos una densidad que presenta dos valores según estemos por encima o por debajo de la interfase, que denotamos por ,

Que los fluidos sean incompresibles y se muevan en un medio poroso acotado quiere decir que el dominio espacial de los fluidos es 

y que la velocidad satisface la Ley de Darcy y la condición de incompresibilidad

Estas ecuaciones se puede trasladar a una única ecuación para la interfase:

Ahora que tenemos el problema cabe preguntarnos si el hecho de que el dominio sea S y no \mathbb{R}^2 cambia mucho la situación. Para hacernos una idea podemos hacer unas simulaciones numéricas preliminares. Para ello consideramos un dato inicial y lo hacemos evolucionar en el caso donde el medio tiene profundidad finita (caso acotado) y también en el caso en el que el medio tiene una profundidad infinita (caso no acotado). Por supuesto el resto de los parámetros físicos son los mismos en ambas evoluciones. Así observamos lo siguiente

(Si no ves bien las imágenes pincha en ellas para hacerlas más grandes)

Parece claro a la vista de estos resultados que el hecho de que el medio esté acotado o no es relevante para las olas.

Una vez que tenemos el problema propuesto tenemos que empezar a sacar teoremas :-P. Evitando tecnicismos lo primero que probamos es

1) (Existencia y unicidad) que si el fluido de arriba es más ligero que el que está abajo el problema tiene una solución.

1.b) (Existencia y unicidad 2) que si el fluido de arriba es más pesado que el de abajo pero la interfase inicial es analítica existe una solución.

2) (Efecto regularizante) que dicha solución se vuelve muy regular (analítica) para cualquier t>0 (compárese con la ecuación del calor aquí.)

De momento estos 3 teoremas son idénticos en su enunciado a los teoremas cuando la profundidad es infinita. ¿Sorprendido? Bueno, esto sólo quiere decir que para probar matemáticamente las diferencias que hemos visto en los vídeos y las imágenes anteriores tenemos que trabajar un poco más, así que sed pacientes y esperad a la siguiente entrada ;-).

Bueno, si os veis muy impacientes podéis leer (o, en su caso, releer) ésta, ésta y esta entrada.

–Referencias:

D. Córdoba, RGB, R.Orive, The confined Muskat problem: differences with the deep water regime.

–Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas en su edición 26, organizado esta vez por ZTFNews.

–Nota 2: Con esta entrada participamos también en el Carnaval de Física en su edición XXXIV que organiza Hablando de Ciencia.

Las “singulares” ecuaciones de los fluidos

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Recientemente ha salido en Arxiv un artículo, de Thomas Hou y Zhen Lei, donde prueban singularidades para un modelo de las ecuaciones de Euler incompresibles tridimensionales. Este no es uno de los problemas del milenio, pero está íntimamente relacionado con uno de ellos. Me refiero al problema de la existencia de singularidades en las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles.

Las ecuaciones de Euler incompresibles representan las velocidades de un fluido incompresible y no viscoso. Podemos pensar en agua. Las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles representan las velocidades de un fluido incompresible y viscoso. Por lo tanto están más cerca de captar la realidad.

Veamos este video:

Durante los primeros segundos salen en pantalla un par de recipientes con dos fluidos distintos. Pues bien, las ecuaciones de Euler son una aproximación correcta al fluido de la izquierda, mientras que no lo son para el de la derecha debido a la enorme viscosidad que tiene. En este otro vídeo vemos otro efecto de la viscosidad: el fluido verde se “pega” al fondo del vaso.

Ahora bien, ¿qué significa que haya una singularidad en las ecuaciones de Euler? Bueno, estas ecuaciones (en el caso de un fluido homogéneo) son:

a) la conservación de momento: (3 ecuaciones)

b) la condición de incompresibilidad: (1 ecuación)

donde \nabla=(\partial_{x},\partial_y,\partial_z) y \vec{u}=(u_1,u_2,u_3).

Viendo que el operador \nabla y \partial_t son derivadas un primer significado de la ecuación está claro: un campo de vectores \vec{u} es solución de las ecuaciones de Euler incompresibles cuando sus derivadas satisfacen las ecuaciones anteriores en cada punto (x,y,z) del espacio para todo tiempo t.

Así, diremos que hay una singularidad cuando alguna o varias de estas derivadas no exista para algún punto del espacio (x,y,z) en algún tiempo t. Por ejemplo, podemos pensar en la función |x| que no tiene derivada en el punto x=0.

Pues bien, la existencia de singularidades (o su inexistencia) es un tema central desde el punto de vista matemático y físico porque es crucial a la hora de derivar el modelo. Es decir, si no hubiese una solución para todo tiempo entonces es que las hipótesis de las que se derivan las ecuaciones NO se satisfacen y, por lo tanto, las ecuaciones no tienen sentido físico. Visto así, casi es un alivio, porque, o sabemos resolver las ecuaciones para todo tiempo o no tenemos que hacerlo.

Para acabar con esta entrada voy a dejar un enlace a una entrada previa sobre el resultado de Ángel Castro, Diego Córdoba, Charles Fefferman, Francisco Gancedo y Javier Gómez sobre las singularidades en las olas (observad que el agua en una ola sigue las ecuaciones de Euler). Estas singularidades en la superficie no son del mismo tipo de las comentadas en la entrada y por eso no las mencionamos más.

Probablemente, si saco algo de tiempo, escribiré alguna entrada sobre el modelo de Euler más sencillo que conozco, la ecuación de Burgers.

Nota: Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas en su edición 3.141, que organiza el blog Desequilibrios.

¿Goles? No, ecuaciones

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Para los que sigan la liga los goles de Cristiano Ronaldo serán geniales, pero para los que sigan la liga y además sepan de física sus goles, además de extraordinarios, parecen ser una consecuencia más del “efecto Magnus“. Yo, que ni sigo los goles ni sé de física, no tenía ni idea de lo que era el “efecto Magnus” has que hace unos días aparecieron dos periodistas de la agencia EFE en el CSIC para preguntar a qué era debido que CR7 marque esos golazos.

He dicho que los goles “parecen ser” consecuencia del efecto Magnus porque hay división de opiniones (pero la parte final del debate me la he perdido al subirme a mi despacho).

El susodicho efecto Magnus lo que viene a ser es una diferencia de presiones inducida por el giro de la pelota en el fluido. Veamos ésto un poco más despacio. Primero tenemos que la pelota gira en el fluido, por lo tanto, la velocidad “aparente” para la pelota (es decir, en el sistema de referencia de la pelota) la velocidad del viento es mayor por un lado que por otro. Esto es así porque la pelota al girar “empuja” el aire colindante, y la mitad de la bola va a favor del viento y la otra mitad en contra.

Una vez que tenemos la diferencia de velocidades, vamos a usar la Ley de Bernoulli. Si asumimos válida esta ley entonces una diferencia de velocidades se traduce en una diferencia de presiones. Y esta diferencia de presiones redunda en una diferencia neta de fuerzas que hace que la pelota trace una curva y, con un poco de suerte, sorprenda al portero.

–Nota: ¿Creéis que si en el CSIC nos dedicamos a estudiar cómo golpean el balón los diferentes futbolistas dejarán de recortar en ciencia?

–Nota 2: Ésta explicación que he dado yo es mala y torpe en comparación con la que nos ha dado Daniel Peralta en el CSIC.

Las matemáticas como ciencia experimental

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Actualmente cuando uno piensa en problemas sin resolver en física piensa en la Teoría del Todo, en el bosón de Higgs o en los límites de validez de la mecánica cuántica. Sin embargo, existen problemas que son fáciles de entender que aún no tienen respuesta. Problemas que sólo involucran a la mecánica de Newton y que todavía no sabemos cómo atacar. Vamos a introducir el que nos ocupa con un experimento que puede ser fácilmente realizado en casa. Continue reading →

Las olas: Un matemático en la playa.

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Ya va haciendo calor y empieza a apetecer el irse a la piscina o a la playa. Sin duda la playa es uno de los sitios menos entendidos por el mundo científico y más visitados por el resto del mundo. El fenómeno al que me refiero cuando digo que no se comprende completamente, claro está, son las olas. En esta entrada estudiaremos diversos casos de olas entre fluidos ilustrando el texto con diversos videos.

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Vamos a empezar hablando de un caso un poco más general que las típicas olas en la superficie del mar. En matemáticas entendemos por interfase entre fluidos a la parte donde estos entran en contacto entre sí. Así una ola es la interfase entre el aire y el agua. Una interfase entre fluidos con distintas propiedades puede exhibir un comportamiento muy complicado, patológico si se quiere, pero que es, pienso yo al menos, visualmente muy bonito. Estoy pensando por ejemplo en singularidades como pueden ser las llamadas singularidades de Kelvin-Helmholtz o Rayleigh-Taylor. Hagamos una parada antes de proseguir con nuestras olas.

Supongamos por un momento que tenemos dos fluidos con densidades distintas, por fijar ideas digamos aceite y agua, de manera que el fluido más denso (el agua) está en el fondo de un recipiente cerrado completamente (un tubo con ambos extremos taponados). El fluido menos denso (el aceite) reposa encima del agua. Supongamos ahora que dicho tubo, y por tanto los fluidos, está en reposo, por ejemplo en una mesa. La pregunta es ¿qué ocurre si, repentinamente, inclinamos dicho recipiente? Veamos unos vídeos con este experimento:

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Lo que vemos en el video es que la interfase “se enrolla” sobre sí misma. Esto es debido a que las velocidades (que son un vector en 3D) tangentes a la interfase tienen signo distinto. Es decir, si lo pensamos en una interfase en 2D (una curva) sería que la velocidad en el fluido que está encima de la interfase “señala hacia la izquierda” mientras que para el fluido que está debajo de la interfase “señala a la derecha”. De ahí esa tendencia a girar y enrollarse.

Supongamos ahora que cambiamos el orden de los fluidos. Ahora tenemos (por ejemplo porque tenemos una barrera entre ambos fluidos) el agua reposando sobre el aceite. ¿Qué ocurre si retiramos rápidamente la barrera entre ambos fluidos? Bueno, pues que el fluido más denso, por la gravedad, caerá hacía abajo, empujando en su camino al fluido menos denso, que subirá hacía arriba. Vale, el caso es que lo que va a ocurrir es sencillo de vaticinar, lo curioso aquí es la manera en que ocurre. Vayamos otro rato a youtube…

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Tras ver estos experimentos y haber pensado un poquito nos damos cuenta de que el que quiera entender bien estos procesos tiene mucho trabajo por delante. Y ahí estamos bregando algunos…

Volvamos a las olas. Hace tan sólo unos días uno de mis jefes (Diego Córdoba) y algunos de mis compañeros (Ángel Castro, Francisco Gancedo y Javier Gómez) y otros colaboradores (el medallista Field Charles Fefferman) hicieron un importante avance. Probaron la existencia de otro tipo de singularidad para el caso de las olas. Bautizaron a esta singularidad como “splash”. Arremanguémonos y veamos un poco las matemáticas que hay debajo de todo esto…

Consideremos una curva en el plano. Esta será nuestra ola inicial. La evolucion de esta ola viene dada por la evolución del fluido bajo ella. Se trata así de un problema de frontera libre, es decir, donde el propio dominio es una incógnita. Así tenemos que, bajo la ola, se verifican las ecuaciones de Euler incompresibles y que además el fluido es irrotacional. Sobre la curva suponemos que tenemos el vacío (esto es un buen modelo porque el agua tiene una densidad mucho mayor a la del aire). Lo que se sabía antes de los trabajos de Diego y compañía eran la existencia local de solución, es decir, que una ola “suave” sigue siendo una ola “suave” al menos un corto tiempo. Esta existencia local es cierta tanto en el caso donde se supone que la profundidad del mar es infinita como en el caso con un lecho marino predeterminado (son resultados de S. Wu y D. Lannes, respectivamente). También se sabe que si las olas “son muy planitas” la existencia es global, es decir, la ola existe para cualquier tiempo (resultados obtenidos independientemente por S. Wu y P. Germain, N. Masmoudi y J. Shatah).

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Los resultados con bandera española en este tema comienzan con un artículo (de A. Castro, D. Córdoba, C. Fefferman, F. Gancedo y M. López) donde se prueba que una ola que empieza siendo un grafo, es decir, se puede escribir como (x,f(x)), deja en un tiempo finito T de ser un grafo. De otra manera, la ola rompe. Matemáticamente esto es que la derivada espacial de la ola se hace infinita en algún punto. El resultado de hace unos días que he mencionado más arriba abunda más en esta línea. Lo que A. Castro, D. Córdoba, C. Fefferman, F. Gancedo y J. Gómez prueban es que existen olas que empiezan siendo curvas suaves y que en un tiempo finito se tocan. Es decir, se ha perdido la propiedad de ser una curva sin autointersecciones. Así es plausible el escenario de comenzar con un grafo, evolucionar hasta perder la propiedad de ser un grafo, es decir, la ola rompe, y, al continuar pasando el tiempo, la curva se acabe autointersecando. Esto es justamente lo que hemos visto en el primer video de esta entrada. Así que podemos concluir dos cosas: una es que algo tan cotidiando como una ola puede ser matemáticamente un problema muy difícil. La segunda cosa que podemos aprender es que nuestro modelo para la dinámica de fluidos funciona en el sentido de que recupera comportamientos reales observados en la naturaleza.

Antes de acabar quiero agradecer a mi compañero Javier Gómez que nos haya dejado el video de sus simulaciones.

—-Esta es nuestra contribución a la edición 2.5 del Carnaval de Matemáticas (http://carnavaldematematicas.bligoo.es/), que está siendo albergado por el blog Juegos Topológicos (http://topologia.wordpress.com/d).