El enigma de Hooke

Es posible que a los que hayáis estudiado física os suene el nombre de Hooke por su famosa ley (“Ley de la elasticidad de Hooke”) que relaciona de forma lineal el alargamiento de un material (\displaystyle \vec{x}) y la fuerza aplicada (\displaystyle \vec{F}):

\displaystyle \vec{F} = - k \cdot \vec{x}.

En 1675, Robert Hooke publicó “la verdadera forma matemática y mecánica” que tiene que tener un arco ideal. Pero hizo esto escribiéndolo como un anagrama:

abcccddeeeeefggiiiiiiiillmmmmnnnnnooprrsssttttttuuuuuuuux

Extracto del ensayo " Una descripción del helioscopio y algunos instrumentos"

Extracto del ensayo ” Una descripción del helioscopio y algunos instrumentos”

Este problema del “arco ideal” es muy importante porque los arcos son estructuras ubicuas en las construciones, pues permiten sustentar peso sobre un espacio vacío. Existen muchos típos de arcos, e inicialmente su desarrollo fue de tipo empírico (“si no se cae, es un buen arco”), pero el diseño era muy sensible, y las piedras tenían que ser colocadas cuidadosamente para evitar la ruptura: los romanos usaban el arco semicircular (o de medio punto), más tarde se usarían los arcos apuntados durante el gótico, … hasta que, más o menos en la época de Galileo, se empezó a pensar que la forma de los arcos exitosos tenía que ver con la física. Y una teoría científica era necesaria si cada vez se construían arcos cada vez más grandes y grandiosos.
Pero, ¿cuál es esta forma? Cuando Hooke murió, su ejecutor testamentario resolvió el enigma del anagrama:

Ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum

que significa

Tal como pende un cable felxible, así, invertidas, las piezas contiguas de un arco

Esto quiere decir que la forma óptima de un arco es aquella inversa a la que forma una cuerda cuando pende sujeta por sus extremos. Dicha forma se denomina “catenaria”, y ha sido utilizado en muchas estructuras desde su descubrimiento, por ser la que mejor aguanta el peso de las estructuras en relación con el ancho del arco: resulta que la descripción de la compresión de los elementos en un arco es muy parecida a la de las tensiones en una cuerda que pende libremente, excepto por un signo negativo. De hecho, es posible utilizar el calculo de variaciones para obtener la forma de la catenaria como la curva que miniza la energía de la cuerda (o, en 3-dimensiones, el catenoide como la expresión de las superficies minimales de revlución entre dos curvas).En la reconstrución de la catedral de St. Paul en Londres tras el incendio de 1966, el arquitecto jefe consultó con Hooke, que diseñó la forma de la cúpula de modo que pudiera ser más fina. La cúpula no es más que el análogo 3-dimensional de un arco. Esta forma (que él creía se correspondía con la ecuación y=x^3) eliminaría esfuerzos en la estructura distintos de los de compresión, evitando la necesidad de más material para evitar la flexión de las piezas.Entre otros, estos arcos han sido utilizados por Gaudí en múltiples construcciones, y es impresionante su uso en la Sagrada Familia. Si tenéis la oportunidad de verlo en persona, ¡es mucho más impresionante que en fotografía!

Detalle de la fachada de la pasión de la Sagrada Familia

Por ejemplo, en la fachada de la pasión de la Sagrada Familia se utiliza la catenaria invertida (fotografía compartida por Montrealais usando la licencia CC BY-SA 3.0 )

Esta entrada ha sido inspirada fundamentalmente de la entrada “The enigma of Robert Hooke” publicada en el blog Quantum Frontiers, y en información de la wikipedia.Referencias:

[1] R. Hooke, “A Description of Helioscopes, and Some Other Instruments” (encontrado en google books) [El anagrama se encuentra en la página 31]

 

La ecuación de Burgers

En este blog sabéis que periódicamente ponemos entradas de física, o mejor aún, de cómo las matemáticas se utilizan para explicar cosas de física (ver por ejemplo ésta, ésta y ésta otra entrada). La que colgamos hoy es de esas. Además ésta estaba pendiente porque en una entrada sobre varios modelos de las ecuaciones de Euler dije que iba a escribir sobre la ecuación de Burgers. Pues bien, aquí está.

La ecuación de Burgers no viscosa (que toma su nombre de J.M. Burgers) se escribe de la siguiente manera

\partial_t u(x,t)+u(x,t)\partial_x u(x,t)=0,\;\; u(x,0)=f(x)\;\;\quad (1).

Se trata de una ecuación de primer orden no lineal y suele ser el primer ejemplo de ecuación no lineal que se pone en los libros de texto (para una lectura rápida sobre las propiedades de algunas ecuaciones en derivadas parciales sencillas leed esto). Se trata además de la primera ecuación que surge de manera natural cuando uno quiere entender las ecuaciones de Euler y también “refleja” (más o menos) el comportamiento de una ola (ver un artículo reciente sobre este tipo de ecuaciones aquí).

Si pasamos esquivando el cuestión de la existencia o no de solución para dicho problema (1) y directamente suponemos que existe tal solución y que además es una función “suave”, i.e., con tantas derivadas como nos hagan falta, podemos obtener una propiedad importante de manera muy sencilla. Supongamos que tenemos una solución u(x,t) que tiene, al menos, dos derivadas en x, y supongamos además que dicha solución se va muy rápido a cero cuando |x| se hace muy grande. Dicha solución tendrá un mínimo (o ínfimo), y un máximo (o supremo) y sus posiciones dependerán del tiempo. Como la función tiende a cero en el infinito estos valores se alcanzan (es decir, no son ínfimos/supremos). Denotemos el punto donde u(x,t) alcanza su mínimo como x_t y el punto donde u(x,t) alcanza su máximo como X_t. Por lo tanto, fijo t,

u(x_t,t)=\min_x \{u(x,t)\},

y

u(X_t,t)=\max_x \{u(x,t)\}.
En estos puntos la ecuación queda
\partial_t u(X_t,t)+u(X_t,t)\partial_x u(X_t,t)=\partial_t u(X_t,t)=0,

y

\partial_t u(x_t,t)+u(x_t,t)\partial_x u(x_t,t)=\partial_t u(x_t,t)=0,

y obtenemos que tanto el máximo como el mínimo del dato inicial se conservan,

\max_x u(x,t)=\max_x f(x),

y

\min_x u(x,t)=\min_x f(x).

Si ahora repetimos el argumento para la evolución de \min_x \partial_x u obtenemos, si x_t es el punto de mínimo, la siguiente ecuación

\partial_t \partial_x u(x_t,t)+(\partial_x u(x_t,t))^2=0.\quad (2)

Ahora observamos que (2) es una EDO que se puede resolver explícitamente (¿sabrías cómo hacerlo?)

y tenemos que, si 0<t=-\min_x \partial_x f(x), |\partial_x u(x_t,t)|=\infty.

Veamos unas simulaciones para entender bien lo que pasa aquí:

Esto es un ejemplo de singularidad. Tampoco debería sorprendernos, pues esta ecuación aparece relacionada con olas y parece reflejar el hecho de que las olas “rompen”.

¿Qué pasa si ahora añadimos una pequeña viscosidad con la forma de un laplaciano? (Esta difusión puede generalizarse, por ejemplo como en [2])

\partial_t u(x,t)+u(x,t)\partial_x u(x,t)=\nu \partial_x^2 u(x,t),\;\; u(x,0)=f(x)\;\;\quad (2).

Esta ecuación se conoce como Ecuación de Burgers viscosa y puede entenderse como un modelo (en realidad una caricatura) de la ecuación de Navier-Stokes. Bueno, ahora la cuenta anterior no es tan sencilla, porque el término difusivo, el laplaciano, tiene signo “bueno”, es decir, se opone a los crecimientos descontrolados como los que se veían en el vídeo anterior. De hecho, usando la transformación de Cole-Hopf (ver aquí) se puede ver que esta ecuación tiene existencia global para cualquier valor de \nu.

De esta manera, el vídeo ahora es

–Referencias:

1) Vincent Duchene, “Decoupled and unidirectional asymptotic models for the propagation of internal waves”, preprint Arxiv, http://arxiv.org/abs/1208.6394.

2) RGB y José Manuel Moreno, “La ecuación de Burgers como un paso previo al estudio de los fluidos incompresibles”, La Gaceta de la RSME, vol 15, num 3, pag, 489-512, 2012. ArXiv preprint http://arxiv.org/abs/1105.5990.

–Nota: Como lo de aproximar soluciones de EDPs es algo muy útil, dedicaremos una entrada próximamente a un método sencillo que produce muy buenos resultados.

Modelizando el ala de un avión

Voy a tratar de explicar un modelo de cómo se comporta el aire (o en general un fluido), considerando que es incompresible.

Las ecuaciones de Navier-Stokes son la segunda ley de Newton (F=ma) para el caso de los medios continuos. Estas ecuaciones son parabólicas de orden 2. Las incógnitas son la presión y el campo de velocidades. La presión nos refleja una fuerza interna entre las partículas del fluido. Hay un término, el laplaciano, que nos refleja la difusión que viene del roce entre las partículas producido por la viscosidad. Lo ‘malo’ que tienen es que son muy, muy difíciles. En un caso simplificado son uno de los problemas del milenio, esos que si resuelves te pagan un millón de dólares de los EEUU. Para poder manejarse en estos temas se hacen más o menos hipótesis que nos simplifican mucho la vida, pero ¿hasta dónde estamos perdiendo en verosimilitud?.

Hay varias maneras de simplificar las ecuaciones, y las que he explicado arriba no son las más generales pues también se podrían considerar la temperatura, la densidad… como incógnitas. La primera manera es decir que tu fluido no es viscoso, en cuyo caso tus ecuaciones son hiperbólicas de orden uno. Se llaman ecuaciones de Euler. Estas también son muy complicadas y tampoco se conoce solución. No son un problema del milenio, pero si que darán la gloria al que lo saque. No son estas las ecuaciones de las que voy a hablar, sino otras más sencillas.

Voy a suponer que la temperatura es constante, así como la densidad. Además nuestro fluido es no viscoso, estacionario, es decir que no cambia con el tiempo. Supongamos también que nuestro fluido se mueve en dos dimensiones solamente, entonces podemos encontrar otra función, determinada de forma única por la primera que nos dará las trayectorias del fluido. Notaremos esta función por \Psi. En este caso todo es muchísimo más sencillo. Estamos hablando de flujos potenciales. En estos la velocidad viene dada como el gradiente de una cierta función incógnita, \Phi, por lo que podemos pasar de un sistema a una sola ecuación.

Además es una ecuación muy sencillita. Definimos la circulación como la integral a lo largo de nuestro perfil (el ala del avión) de la velocidad. Es lo mismo que integrar el rotacional de la velocidad en el interior del ala. Entonces podemos demostrar que sólo hay sustentación si la circulación es distinta de cero. Pero, con las hipótesis que hemos hecho, si añadimos que el aire muy lejos del perfil no haga remolinos, entonces tenemos que la circulación será cero, pues esta sólo puede moverse, no aparecer si antes no había (estamos en 2D y no hay viscosidad).

También podemos darnos cuenta de la paradoja de D’Alembert, que dice que en un fluido potencial y estacionario no hay resistencia aerodinámica.

Esto es bastante contradictorio con lo que vemos día a día, que los aviones vuelan y que si vamos contra el viento nos cuesta más.

La solución a estas paradojas es que nuestro fluido no es potencial, por lo menos no lo es en algunas zonas. Un fluido potencial no puede desarrollar turbulencia, y en el caso de la resistencia aerodinámica, es ésta la culpable de que nos cueste más (junto con la viscosidad). Pasa lo mismo con la sustentación. Para que haya sustentación, la circulación ha de ser distinta de cero.

Para avanzar en la comprensión de estos fenómenos hemos de separar el fluido en trozos, un trozo externo, donde podríamos habla de flujo potencial, y un flujo cercano al objeto inmerso en el fluido (el ala) y la parte de atrás de este donde los efectos de la viscosidad hacen que la vorticidad cambie localmente y tengamos circulación y turbulencias. Esto es el fenómeno de capa límite, que dice que lo que pasa es que los efectos de la viscosidad hay que contarlos en una zona muy pequeña alrededor del perfil y en la estela (zona de capa límite desprendida). Para ver unos dibujos dejo las soluciones calculadas con FREEfem++ en ambos casos (viscoso y potencial) y considerando un perfil circular.

Problemas de frontera “no-tan-libre”

Resulta que en el Instituto de Ciencias Matemáticas hay un “Working Pizza Seminar“, (además del enlace “oficial” aquí se puede ver el enlace al blog del ICMAT) es decir, un sitio donde se dan charlas informales sobre temas de investigación actual y, además, te dan pizza para comer, y hoy he torturado hablado yo.

He hablado un poco de las cosas que he estado haciendo estos casi 3 años que llevo con la tesis (ver las diapositivas aquí PizzaWorkingSeminar). Es decir, he tratado problemas de frontera libre que surgen en el movimiento de fluidos incompresibles en medios porosos inhomogéneos. Así, por ejemplo, he explicado entre otras cosas, cuándo este tipo de olas puede tener singularidades

Y también cuando es de esperar que no.

Además he comparado diversos modelos existentes. Por ejemplo he comparado el caso homogéneo con profundidad infinita con el caso homogéneo con profundidad finita (puede argumentarse que las fronteras del dominio serían zonas de permeabilidad nula y por lo tanto el problema sería inhomogéneo… pero dejémoslo estar)

También he comparado casos con distinta permeabilidad

Todos estos problemas son interesantes, por ejemplo, de cara a la obtención de energía. En efecto, si uno quiere extraer petróleo lo que se suele hacer es inyectar agua a presión de manera que ésta lo desplaza, expulsándolo (ver aquí). Otra fuente de energía, esta vez mucho menos conocida, es la energía geotérmica (ver aquí). Ahí típicamente se tiene una zona de permeabilidad altísima, una de permeabilidad más normal y ambas se encuentran acotadas por capas impermeables. Ahí se tiene que el agua está muy caliente debido al calor propio del núcleo de la Tierra y por lo tanto puede aprovecharse para obtener electricidad.

–Nota: La portada hay que agradecérsela a Elena Hontangas Martínez :-)

–Nota 2: Parece mentira la cantidad de cuadros que hay dedicados exclusivamente a las olas. Será la única cosa que tengan en común matemáticos y artistas en sus respectivos trabajos…

Los límites, Arquímedes y el bachillerato

El concepto de limite es una herramienta fundamental, quizá la más útil e importante de todas las matemáticas. Historicamente diría que el primer límite de la historia lo calculó Arquímedes, haciendo la primera integración. Veamos cómo:

En la época estaban interesados en calcular áreas delimitadas por curvas. Es un problema grande, que enlaza con el cálculo de \pi. Arquímedes consideró un segmento de parábola y el área que encierra. Para calcular el área dijo, bueno, si sé calcular el área de triángulos, entonces lo que tengo que hacer es ‘tapar’ el segmento de parábola con triángulos. Esto hizo, y observo que los trozos que quedabas sin tapar en realidad volvías a ser segmentos de parábola, por lo que se podría repetir. Así llegó a una serie geométrica de razón un cuarto INFINITA. También es la primera vez que se suma una serie infinita.

Veamos otro ejemplo del método. Arquímedes quería calcular \pi. Entonces lo que hace es considerar un círculo de radio uno. Su área es \pi. Ahora veis por donde va. Como sabe calcular áreas de polígonos ‘tapa’ con hexágonos el círculo. Razona que si el hexágono está fuera, entonces el área será mayor, mientras que si el círculo tapa al hexágono será menor. Obviamente tanto los hexágonos como el círculo son concéntricos. Ahora el límite viene al hacer crecer el número de lados, con lo que ambas aproximaciones a \pi (por arriba y por abajo) se van haciendo más y más precisas. Este proceso en el límite te da \pi sin ningún error, pero en la ‘práctica’ te lo da con el error que tu quieras. Digamos que hay un cambio filosófico entre ambas afirmaciones. Aquí podríamos hablar de cómo afecta la noción de observable físico a esto, hasta qué punto debemos preguntarnos por LA realidad y hasta donde sobre LA PARTE de realidad que podemos conocer. Concluimos diciendo que un ordenador, usando Matlab, si no se le dan instrucciones específicas tiene 16 decimales guardados. Con este método y paciencia podríamos acercarnos tanto a \pi que engañásemos al ordenador.

Esto es en cuanto a límites e integrabilidad. Para la derivabilidad es lo mismo.

Tenemos una función y vamos trazando secantes entre dos puntos, ahora tomamos el límite cuando un punto se acerca al otro. Así obtenemos la tangente. Entonces, cuando hacemos cálculo numérico, y queremos estimar una derivada, por ejemplo en problemas de transferencia de calor, lo que hacemos es considerar una ‘diferencia finita’, esto es un cociente como los de la definición de derivada, pero con un pasito pequeño, sin tender al límite. i.e.\quad \frac{f(x+h)-f(x)}{h} con h pequeño.

Veamos un último caso de la importancia de los límites, este más bien modesto, sólo trataremos con los números.

¿Alguien se ha preguntado cómo se definen los números? Bueno el proceso axiomático es el siguiente. Se definen los naturales por medio de los axiomas de Peano. Después con una relación de equivalencia y apoyándonos en los naturales definimos los enteros. Ahora los racionales vienen de los enteros con una relación de equivalencia parecida. ¿Y los reales?. Aquí el método no funciona. Los reales no se definen con ninguna relación de equivalencia como las anteriores, sino que se definen para ‘completar’ (uno que sepa más que las mates básicas se dará cuenta de que no debería haber comillas). Veamos un ejemplo de lo que quiero decir. Sabemos desde lo que hizo el pobrecillo de Hipaso de Metaponto que raíz de dos es irracional, por lo tanto no estará en los racionales. Sin embargo, hay racionales tan cerca como queramos, por ejemplo la sucesión 1.4,1.41,… (cada vez añadimos una cifra de la expansión decimal de raíz de dos) tiende a raíz de dos. Entonces si hubiese justicia en el mundo deberíamos considerar un conjunto mayor de números (los reales) donde si una sucesión contenida tiende a un número este número también esté en el conjunto. Así se definen los reales, como el límite de las sucesión de racionales.

Menuda parrafada. Pero, ¿a qué viene esto? Bueno, es que me he percatado de que en ocasiones se da una definición intuitiva pero errónea. La susodicha definición en el caso de una sucesión es:

Se dice que una sucesión tiene límite L si al tomar sucesivos términos de la sucesión nos vamos acercando a L.

Ahí van dos contradicciones que se me ocurren rápido. Sea la sucesión dada por 0.9, 0.99, 0.99, 0.999… Si hacemos caso de la definición anterior el límite sería 1000, porque cada vez estoy más cerca de ese número. ¡Anda, pero si también vale con 100!. Entonces el límite así definido ni siquiera es único. Por cierto, el verdadero límite es 1, como veremos luego.

Veamos la definición correcta.

Se dice que una sucesión \{a_n\} tiene límite a si para todo \varepsilon (DADO) se tiene que existe un n_0 tal que para todo n\geq n_0 se cumple |a_n-a|<\varepsilon.

Veamos qué dice esto tan raro. Pensemos en nuestra recta real, donde marcamos unas cruces en los números que estén en nuestra sucesión. Entonces DADO un número POSITIVO (es una distancia) \varepsilon lo que ha de ocurrir es que todos los términos de la sucesión a partir de uno a_{n_0} estén a una distancia menor que \varepsilon de a. O lo que es lo mismo, que estén entre a-\varepsilon y a+\varepsilon. O lo que es lo mismo, que en a podamos poner una bola de radio \varepsilon y de manera que nos tape siempre un número infinito de términos de la sucesión, o lo que es lo mismo, que deje fuera sólo un número finito. Es muy importante observar que esto ha de cumplirse para todo \varepsilon.

Veamos unos ejemplos.

La misma sucesión de antes, 0.9, 0.99… Supongamos que el límite es 1000, entonces elegimos \varepsilon=2000. Se cumple que tapamos a nuestra sucesión, ¿dónde está el problema?. La contradicción viene en el PARA TODO \varepsilon. Si elegimos en lugar de \varepsilon=2000 lo elegimos \varepsilon=200 ya no se cumple. Supongamos ahora que el límite es 1. Elegimos \varepsilon=0.01. Entonces se tiene que nuestra ‘bola’ tapa a todos los elementos menos a uno de la sucesión. Esto, como hemos visto antes no demuestra que el límite sea 1. Elijamos otro \varepsilon, por ejemplo, 0.001. Podemos repetir lo anterior. Vamos a por el caso general. Ánimo. Sea \varepsilon fijo. Entonces debemos calcular nuestro n_0. Se tiene |a_n-1|< \varepsilon siempre que n_0>[log_{10}( \varepsilon)].

Varias observaciones:

1) Nuestro n_0 en realidad depende de varias cosas. Se tiene n_0=n_0(\{a_n\},\varepsilon). Es decir, lo normal es que, fija la sucesión, cuanto más pequeño sea nuestro \varepsilon más grande tenga que ser nuestro n_0.

Sobre las singularidades en Euler y la conjetura de Onsager

Hace algún tiempo escribíamos (ver aquí) sobre un modelo de las ecuaciones de Euler en 3d. La historia de este artículo acabó pronto porque había un error y lo retiraron. Hoy ha aparecido un artículo en Arxiv donde afirman que

A class of singular 3D-velocity vector fields of finite energy is constructed which satisfy the incompressible 3D-Euler equation. It is shown that such a solution scheme does not exist in dimension 2. The solutions constructed are smooth up to finite time where they become singular.

Es decir, afirman haber conseguido soluciones de Euler 3D que son suaves hasta un tiempo finito donde se vuelven singulares. Esto es un teoremazo de ser cierto. Sin embargo, al abrir interesado el artículo empiezan las dudas. El argumento parece ser considerar una familia de soluciones dada por

v_i(x,t)=\frac{f_i(x)}{t-1},

y ver qué han de satisfacer dichas f_i(x) para que v satisfaga las ecuaciones de Euler. Observamos que para esta familia se tiene que

\int_{\mathbb{R}^3}|v(x,t)|^2dx=(t-1)^{-2}\int_{\mathbb{R}^3}|f(x)|^2dx\rightarrow \infty\text{ as }t\rightarrow1. \quad (1)

Aquí es donde entra la conjetura de Onsager. Dicha conjetura dice que si v es un campo de velocidades suficientemente regular (más regular que Hölder-1/3) entonces la norma L^2 (que es la cantidad descrita anteriormente en (1)) se conserva. Si no

”…in three dimensions a mechanism for complete dissipation of all kinetic energy, even without the aid of viscosity, is available.” Lars Onsager

Se sabe que si la solución es regular conserva la energía, (es un artículo de Constantin, E y Titi de los años 90) mientras que un reciente artículo de C. De Lellis y L. Székelyhidi Jr. se prueba que existen soluciones Hölder-1/10 que no conservan la energía cinética (ver (1)).

Es decir, o a mí se me está escapando algo o (1) es incompatible con lo que se conoce.

–Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas en su edición 26, organizado esta vez por ZTFNews.

Euler y el problema de Basilea: Productos infinitos (I)

El día 18 de Septiembre hizo 229 años de la muerte de Leonhard Euler (ya lo dijimos aquí), así que ¿qué mejor momento para continuar con la serie sobre el problema de Basilea? Ésta serie ya consta de dos entradas (ver aquí y aquí) contando un poco cómo se formula el problema y qué avances se han dado. Vamos a resumirlo un poquito.

El problema de Basilea es calcular la suma de la serie


Jacob Bernoulli fue capaz de probar que la serie efectivamente convergía, i.e. que la suma tiene un valor finito. Una vez que se sabe eso uno puede ir sumando términos a ver qué número va quedando. El problema es que la serie converge muy despacio y hay que sumar muchísimos términos para tener una cantidad aceptable de decimales. Y es aquí donde entra Euler al escribir una serie equivalente que converge mucho más rápido, de manera que hay que sumar menos términos para obtener los mismos decimales.

Veamos qué hizo Euler llegados a este punto. Tenemos que recordar que si tenemos un polinomio

cuyas raíces (reales) son

 entonces podemos escribir 

Con esto en mente observamos que

 tiene cómo raíces 

Así Euler escribe, usando la serie de Taylor,

de donde, si dividimos por x y suponemos que podemos usar la propiedad anterior de los polinomios para una serie de potencias, obtenemos

Ahora basta observar que (3) nos da que el coeficiente que acompaña a x^2 es

y ahora, igualando con (2), obtenemos el resultado

Éste resultado es correcto, pero tiene un enorme “pero”: el argumento es erróneo. No se puede hacer ese desarrollo como producto de las raíces para series. Por ejemplo podemos considerar

que, por tener las mismas raíces que el seno, ¡debería tener el mismo producto infinito! Esta prueba fue muy criticada por la comunidad y Euler siguió trabajando en desarrollos de productos infinitos para el seno de manera que pudiese acallar las quejas con una demostración completamente rigurosa y no sólo con un escueto “pues mi aproximación y el valor exacto que he calculado son iguales…”, pero eso lo dejaremos para otro día…

–Referencias:

Rafael Granero Belinchón, El problema de Basilea: Historia y algunas demostraciones. La Gaceta de la RSME, vol 12, num 4, pag 721-737, 2009.

E. Sandifer, Basel Problem with Integrals, MAA Online, 2004, disponible aquí.

Y aquí un conversor entre fórmulas de Latex e imágenes.

–Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas en su edición 26, organizado esta vez por ZTFNews.

Problemas de frontera “no-tan-libre” en dinámica de fluidos: las diferencias

En esta entrada tratamos de presentar de manera sencilla la siguiente pregunta

¿Cómo de importante es el lecho marino para las olas en la superficie?

Así tenemos que estudiar el problema de la evolución de la interfase entre dos fluidos cuando dichos fluidos se encuentran en un medio poroso acotado y, tras hacer unas simulaciones para ver por dónde iban los tiros, dimos los primeros pasos en el estudio matemático del problema. Sin embargo, pese a que en las simulaciones observamos grandes diferencias en los primeros resultados matemáticamente rigurosos no capturamos esos fenómenos.

La primera pregunta que nos hacemos es ¿cuál es la evolución de la amplitud máxima de la ola? Para ellos lo que hacemos es estudiar

Lo que conseguimos probar es

o, lo que es lo mismo, que la amplitud no puede crecer con el tiempo. Este resultado es idéntico al caso donde la profundidad es infinita. Sin embargo en las simulaciones habíamos visto que las diferencias a este nivel eran grandes:

Lo que ocurre es que la velocidad a la que cae la amplitud es distinta. En el caso de profundidad infinita tenemos

donde f_0(x)=f(x,0) es la ola inicial. En el caso de un medio acotado la amplitud evoluciona según

Así hemos obtenido la primera diferencia importante: la interfase en el caso de profundidad finita decae más despacio. 

Ahora cabe preguntarse ¿cómo evoluciona \max_x|\partial_x f(x,t)|? Esta cantidad nos da una idea de cómo es la longitud de onda. Sabemos que en el caso donde el medio no está acotado se tiene que

si \max_x|\partial_x f(x,0)|<1 entonces \max_x|\partial_x f(x,t)|<\max_x|\partial_x f(x,0)|\;\; \forall t>0.

En el caso de que el medio tenga profundidad finita tenemos una condición (razonablemente complicada y que escribiremos F) que involucra no sólo a \max_x|\partial_x f(x,0)| si no también a \max_x|f(x,0)|:

si F(\max_x|\partial_x f(x,0)|,\max_x|f(x,0)|)\leq 0 entonces \max_x|\partial_x f(x,t)|\leq\max_x|\partial_x f(x,0)|\;\; \forall t>0.

Una consecuencia de esto es que si esa condición se satisface y entonces tenemos una cota superior para \max_x|\partial_x f(x,t)| y por lo tanto la ola no puede romper.

Bueno, ahora que sabemos cuándo la interfase no rompe cabe preguntarse si hay alguna situación en la que la interfase rompa. Y efectivamente obtenemos que hay datos tales que pasa lo siguiente:

Es más, podemos probar mediante una prueba asistida con ordenador, que existen datos iniciales tales que sólo rompen cuando la profundidad es finita. Es decir, que el fondo ayuda a que las olas rompan. Y si bien hemos probado estos teoremas en el caso de fluidos moviéndose en un medio poroso estos dos últimos resultados se pueden probar gratis para el caso de las water waves, i.e. la interfase entre un fluido incompresible e irrotacional siguiendo las ecuaciones de Euler y el aire.

–Referencias:

D. Córdoba, RGB, R.Orive, The confined Muskat problem: differences with the deep water regime.

–Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas en su edición 26, organizado esta vez por ZTFNews.

–Nota 2: Con esta entrada participamos también en el Carnaval de Física en su edición XXXIV que organiza Hablando de Ciencia.

Problemas de frontera “no-tan-libre” en dinámica de fluidos: primeros pasos

Decía el señor Swett Marden que

“Un guijarro en el lecho de un pobre arroyuelo puede mudar el curso de un río”.

Parece una exageración y sin duda lo es, pero sirve para que nos hagamos la siguiente pregunta:

¿Cómo de importante es el lecho marino para las olas en la superficie?

Ésta es la pregunta que tratamos de contestar en este artículo. El problema que queremos entender es, dados dos fluidos incompresibles en un medio poroso acotado, ¿cómo se comporta la interfase entre ambos y que diferencias presenta con el caso en el que el medio no esta acotado? Bueno, vamos a trasladar ese problema físico a ecuaciones en derivadas parciales. Tenemos una densidad que presenta dos valores según estemos por encima o por debajo de la interfase, que denotamos por ,

Que los fluidos sean incompresibles y se muevan en un medio poroso acotado quiere decir que el dominio espacial de los fluidos es 

y que la velocidad satisface la Ley de Darcy y la condición de incompresibilidad

Estas ecuaciones se puede trasladar a una única ecuación para la interfase:

Ahora que tenemos el problema cabe preguntarnos si el hecho de que el dominio sea S y no \mathbb{R}^2 cambia mucho la situación. Para hacernos una idea podemos hacer unas simulaciones numéricas preliminares. Para ello consideramos un dato inicial y lo hacemos evolucionar en el caso donde el medio tiene profundidad finita (caso acotado) y también en el caso en el que el medio tiene una profundidad infinita (caso no acotado). Por supuesto el resto de los parámetros físicos son los mismos en ambas evoluciones. Así observamos lo siguiente

(Si no ves bien las imágenes pincha en ellas para hacerlas más grandes)

Parece claro a la vista de estos resultados que el hecho de que el medio esté acotado o no es relevante para las olas.

Una vez que tenemos el problema propuesto tenemos que empezar a sacar teoremas :-P. Evitando tecnicismos lo primero que probamos es

1) (Existencia y unicidad) que si el fluido de arriba es más ligero que el que está abajo el problema tiene una solución.

1.b) (Existencia y unicidad 2) que si el fluido de arriba es más pesado que el de abajo pero la interfase inicial es analítica existe una solución.

2) (Efecto regularizante) que dicha solución se vuelve muy regular (analítica) para cualquier t>0 (compárese con la ecuación del calor aquí.)

De momento estos 3 teoremas son idénticos en su enunciado a los teoremas cuando la profundidad es infinita. ¿Sorprendido? Bueno, esto sólo quiere decir que para probar matemáticamente las diferencias que hemos visto en los vídeos y las imágenes anteriores tenemos que trabajar un poco más, así que sed pacientes y esperad a la siguiente entrada ;-).

Bueno, si os veis muy impacientes podéis leer (o, en su caso, releer) ésta, ésta y esta entrada.

–Referencias:

D. Córdoba, RGB, R.Orive, The confined Muskat problem: differences with the deep water regime.

–Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas en su edición 26, organizado esta vez por ZTFNews.

–Nota 2: Con esta entrada participamos también en el Carnaval de Física en su edición XXXIV que organiza Hablando de Ciencia.

Euler y el número e

Hoy hace 229 años que Euler murió en Rusia y a modo de recuerdo vamos a hablar hoy un poquito del número e y las finanzas, que es otro tema que está muy de moda con esto de la crisis económica.

Supongamos que tenemos un euro y que lo invertimos a un año con un interés del 100%. En éste caso nuestro euro al acabar de comernos las uvas se habrá convertido en dos euros. Si ahora consideramos que nuestra inversión tiene la mitad de interés (50%) pero que se paga cada 6 meses entonces a mitad de año tendremos 1+0.5 euros que invertimos de nuevo y obtenemos, tras comernos las uvas (1+0.5)(1+0.5)=(1+0.5)^2. Ahora supongamos que dividimos el tiempo tanto como queramos y vamos invirtiendo de nuevo lo que obtenemos, entonces, nuestra inversión se calcula como (1+\frac{1}{n})^n y se aproxima a 2,7182. ¿Os suena éste número o la expresión? Pues debería, ¡es el límite que define el número e que se estudia en bachiller! (al menos yo lo hice…)

–Nota: Sí, ya lo sabemos, esta entrada es una birria y además muy corta… Peeeeero prometemos escribir (al menos una y con suerte dos entradas) sobre Euler y el problema de Basilea para el Carnaval de Matemáticas que organiza esta vez ZTFNews. Y si queréis leer alguna curiosidad más sobre el número e para ir abriendo boca podéis empezar por la Wikipedia que tiene un artículo listando muchas de ellas.