La infinitud de los primos | Scientia potentia est

Siendo esta semana el Carnaval de Matemáticas en este mismo blog, está claro que el título de la entrada no se refiere a familias grandes. Hablamos de esos curiosos números que sólo son divisibles por ellos mismos y por la unidad, los números primos.

Mucha gente conoce los siguientes resultados:

Teorema: Todo número es primo o producto o primos.

Teorema: Hay infinitos números primos.

El primero se conoce como Teorema Fundamental de la Aritmética o de la Factorización Única. En esta entrada trataremos el segundo.

Una prueba de que hay infinitos primos, quizá la más conocida, es muy sencilla. Es el ejemplo arquetípico de prueba por reducción al absurdo: Supongamos que existe un número finito de primos $p_i$ , $i = 1\cdots k$ y definamos $n=p_1p_2p_3\cdots p_k=\Pi_{i=1}^k p_i$ . Consideremos ahora $n+1$ . Si $n+1$ no es primo, entonces es divisible por algún primo $p$ . Se tiene que $p$ no está en nuestra lista, porque si $p=p_j$ para cierto $j$ , como $p_j$ divide a $n$ se tiene que $p_j | n+1-n$ de donde concluimos que $p_j=1$ y por lo tanto nuestra lista está incompleta.

Nada nuevo bajo el sol hasta aquí. Pero resulta que el día 16 de Febrero de este año, es decir, el Jueves pasado publicaron en el servidor de preprints Arxiv una nueva prueba (hay multitud de ellas). Además de nueva es sencilla, así que se me ocurrió contarla aquí. La prueba se debe a Romeo Mestrovic. Veamos cómo es: sabemos que 2 es primo y que 3 también lo es, por lo tanto, gracias al Teorema de Factorización Única, se tiene

$\displaystyle n-1 =p_{1}^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}\geq 5$ .

Ahora bien: podemos escribir

$\displaystyle n-1 =p_{1}^{s-(s-e_1)}p_2^{s-(s-e_2)}\cdots p_k^{s-(s-e_k)}=\frac{n^s}{a},$

con $a=p_{1}^{(s-e_1)}p_2^{(s-e_2)}\cdots p_k^{(s-e_k)}$ y $s=\max_i\{ e_i\}.$

Tenemos entonces $a=\frac{n^s}{n-1}=\frac{n^s-1}{n-1}+\frac{1}{n-1}$ y por lo tanto $\frac{1}{n-1}$ debe ser un número entero, pero $n-1\geq 5$ , y hemos llegado a contradicción.

–Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas que organizamos nosotros :-).

–Referencia: Romeo Mestrović, EUCLID’S THEOREM ON THE INFINITUDE OF PRIMES: A HISTORICAL SURVEY OF ITS PROOFS (300 B.C.–2012) AND ANOTHER NEW PROOF, Arxiv preprint.

3 thoughts on “La infinitud de los primos”

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JuanPablo on 22/02/2012 at 12:28 pm said:

gracias por enlazar el artículo, me diste una buena noticia!
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3 thoughts on “La infinitud de los primos”

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