Otra entrada dedicada a las paradojas. Continuamos con la tónica de la entrada anterior (http://scientiapotentiaest.ambages.es/?p=244) por lo que nos restringiremos a aquellas paradojas que son producidas por la idea del infinito o de los infinitésimos (lo “infinitamente” pequeño), aunque esta vez abordaremos la teoría de la medida y la teoría de conjuntos.
Esta entrada es un poco más avanzada, y se requieren algunos conocimientos de matemática. Sin embargo, intentaremos dar algunas explicaciones que no necesiten estos conocimientos.

Primero vamos a tratar la sorprendente afirmación de que podemos construir un conjunto con medida cero que es no numerable y no es vacío. Sé que esto no es una paradoja, pero también sé que muchos matemáticos acaban la carrera sin entender este conjunto y que, sea o no paradoja, el enunciado es desconcertante. La idea es que podemos asignar medidas a conjuntos, por ejemplo el intervalo [0,1] mide 1, el conjunto de los irracionales del intervalo [0,1] también mide 1. Detengámonos en esto un poco más. Sabemos que un punto sólo no mide nada. Tenemos como hipótesis que si dos conjuntos no se intersecan la medida de la unión es la suma de las medidas, por ejemplo si consideramos el intervalo [0,1] y el [2,3] la medida es 2. No ocurre lo mismo si consideramos los intervalos [0,1] y [0.5,1.5], porque tienen un subintervalo en común. Además supondremos que esta propiedad se puede extender a uniones (y sumas) numerables (con un número infinito de conjuntos, pero no hay más conjuntos que números naturales).

Si ahora leemos (y quizá releemos) esto otra vez nos damos cuenta de que una unión numerable de puntos por fuerza ha de ser disjunta (porque los puntos, o son el mismo, o son distintos) y por lo tanto, aplicando la propiedad, el conjunto formado por dicha unión tendrá medida cero. Esto es algo bastante razonable si lo desvestimos de parte de su rigor, ¿quién apostaría a que el conjunto de los números enteros en la recta mide algo? ¿quién me diría lo que mide?. A poco que pensemos llegaremos a la conclusión de que la única manera razonable de asignarle una medida a dicho conjunto es diciendo que es cero.

Ahora la sorpresa es que este tipo de conjuntos, ‘pequeños’ y ‘dispersos’ no son los únicos conjuntos que miden cero.

Existe (al menos) un conjunto no numerable con medida cero.

El problema de este conjunto es la ‘dispersión’. Tiene bastantes puntos como para medir algo, pero simplemente no estan “juntitos”.

En palabras de Ian Stewart, “vamos a construir el conjunto de Cantor como harían los ratones”.

Tomamos el conjunto [0,1]. Lo dividimos en tres segmentos iguales y le quitamos el segmento central. A cada uno de los dos segmentos resultantes le hacemos lo mismo y así sucesivamente. El conjunto de Cantor es el límite así conseguido.

Veamos cuanto mide. La medida de cada segmento es 1/3, por la propiedad anterior la medida total en el primer paso de la iteración es 2/3. En el segundo paso de la iteración tenemos que cada uno de los intervalos ha perdido un tercio de su longitud, por lo que mide dos tercios de su longitud. En total en el segundo paso de la iteración el conjunto mide . ¿Vemos el patrón?. En la n-ésima iteración el conjunto medirá . De modo que, en el límite, se tendrá que el conjunto de Cantor mide 0, que es el límite de la sucesión de medidas.

Si vemos que es no numerable hemos concluido. Recuerdo que ser no numerable es tener un cardinal (el número de elementos) infinito mayor que el de los números naturales. Esto es un poco ingenioso, pero no es difícil. Veamos, tenemos, por estar el conjunto de Cantor contenido en el intervalo unidad, que el cardinal será menor o igual. Por lo tanto si demostramos el mayor o igual hemos concluído la igualdad. Observamos que nuestra construcción de ir eliminando segmentos es equivalente a escribir todos los números en base 3 y eliminar aquellos que tienen algun 1 en su expansión. Por ejemplo el 0.222… (ojo está en base 3) está en nuestra construcción, pero el 0.11 no lo está. Ahora pensamos en base dos y vemos que nuestros número, los que forman el conjunto en realidad son ‘binarios’ si cambiamos los doses de su expansión por unos. Por ejemplo el punto 0.222… en base 3 pasa ahora a ser 0.1111… Ésta es nuestra función, cambiar los doses por unos. Ejercicio: Razonar por qué es suprayectiva.

¡Tachán!. Hemos concluído, hemos construído un conjunto no numerable que mide cero. Desmontamos así nuestra hipótesis inicial que era asociar la idea de medida con la de cardinalidad y concluir que si tenía un cardinal como el de los naturales (un número de elementos igual) entonces media cero y estos eran todos. Además del ‘tamaño’ tenemos que considerar también la ‘dispersión’.

Sigamos con paradojas, ahora de cardinales (el número de elementos de un conjunto, recuerdo).

Ahora hay que entrar en materia más seria de cardinales, así que voy a dar una definición más rigurosa no del concepto de cardinal en sí, que está clara: es el número de elementos de un conjunto, sino de la propia manera de contar. Diremos que dos conjuntos tienen el mismo cardinal (tamaño) si existe una función biyectiva (es decir, que va de uno a uno) entre ambos. Esta idea tan simple es la única que nos permite tratar con distintos tamaños infinitos. La idea es que, si queremos contar el número de alumnos en una clase, podemos contar el número de mesas y ver si hay tal función. En el caso de que haya más alumnos la función no será inyectiva, pues habrá dos alumnos en alguna mesa. En el caso de que sobren mesas lo que no será la función es suprayectiva. Observamos que las nociones de inyectividad y suprayectividad son en realidad nociones de ‘tamaños’ si las usamos así.

La última paradoja de Zenón de Elea (ver entrada http://scientiapotentiaest.ambages.es/?p=244), la paradoja de la flecha:

Lanzamos una flecha. En cada instante de tiempo ésta no se mueve, pues no le da tiempo.

Ahora Zenón razonaba que al haber una suma de ceros el resultado seguía siendo cero, y por lo tanto no hay movimiento. Aunque esta paradoja se puede desmontar con el concepto de derivada, voy a optar por razonar con teoría de la medida, para ello he de introducir unos conceptos.

¿Cuánta longitud tiene un punto sólo?. La respuesta es que ninguna, un punto no tiene dimensión alguna. Ahora bien, también se puede demostrar que si tenemos infinitos puntos, pero un infinito pequeño (como los números naturales) volvemos a tener cero. Es decir la longitud que suman infinitos (pero un infinito como el de los naturales) puntos es cero. Sin embargo, el intervalo [0,1] tiene longitud exactamente 1, y no es más que un conjunto de puntos en fila. ¿Dónde está el truco?, os dejos pensarlo 3 segundos… El truco está en la cantidad de puntos, el intervalo [0,1] tiene infinitos puntos, pero es un infinito mucho mayor que el de los naturales. Para convencernos de esto podemos considerar que los puntos son tantos como los naturales, y están en el intervalo [0,1], sin embargo hay muchos más puntos que no son esos.

¿Cuál es la conclusión? Es cierto que una suma de ceros es cero, ¡siempre que no sumemos demasiados!, si sumamos un número infinito (de un infinito como la cantidad de puntos del intervalo [0,1]) entonces el resultado puede ser un número finito y no cero, pero peor aún, puede ser infinito (pensad en la longitud de toda una recta).

Concluímos que la flecha se mueve, pues si bien estamos sumando ceros, sumamos muchos, ya que los instantes de tiempo son como el intervalo [0,1] y no como los naturales.

Hemos desmontado, junto con la entrada anterior (http://scientiapotentiaest.ambages.es/?p=244), las 3 paradojas de Zenón. En las próximas entradas veremos más paradojas y cómo evitarlas (si se puede).

Veamos otra paradoja basada en el mismo problema.

Todos los números (naturales) no son cuadrados perfectos, sin embargo, hay tantos números (naturales) como cuadrados perfectos.

Esta paradoja se conoce como paradoja de Galileo, y reposa en la existencia de dicha función. Consideramos ambos conjuntos, los cuadrados y el conjunto de los números naturales que lo contienen. Claramente el número de cuadrados es menor o igual al número total de números naturales. Sin embargo, por cada número natural hay un cuadrado y entonces dicha función ha de ser biyectiva.

Leedlo con atención, no es fácil la primera vez. Huelga decir que los mismo se puede hacer para los enteros, los primos, los pares… El primer momento en el que falla es al considerar los irracionales.

Vamos a por la última paradoja, que si hemos entendido la de Galileo es fácil. Ésta se llama paradoja de Hilbert.

Si tenemos un hotel de infinitas habitaciones, completo, y llega un nuevo turista podemos darle habitación.

y más aún

Si en nuestro hotel de infinitas habitaciones, completo, aparecen infinitos nuevos clientes, también podemos darles habitación.

Estas paradojas no las voy a resolver explícitamente; sin embargo, su respuesta ya está escrita. Como pista voy a decir que se piense en los naturales como las habitaciones y desde ahí se busque un conjunto para nuestros clientes en cada caso. Se puede observar que esta paradoja es justamente “simétrica” a la construcción del conjunto de Cantor: en el conjunto de Cantor quitamos elementos del intervalo [0,1] y al final nos queda algo con el mismo cardinal. ¡En esta paradoja añadimos elementos y nos queda algo con el mismo cardinal!

Con esta última paradoja tengo un chascarrillo. Cuando estudiaba primero de la ESO, en el instituto de Mota del Cuervo, un maestro nos contó justamente esta paradoja. El hombre nos repetía eso de los conjuntos de ‘tamaños’ diferentes, pero en ningún momento mencionó nada de funciones, inyectividad… Todo parecía muy extraño hasta para el maestro. Yo me fui a mi casa sin entenderlo y con la idea de que el maestro tampoco se enteraba. No volví a acordarme de esto hasta hace un par de años, cuando estaba corriendo y me vino a la cabeza. ¡Os juro que aún no estaba muy cansado por la carrera!

En la próxima entrada querría hablar de algunas paradojas en probabilidad, como la del cumpleaños y la de Bertrand.

PD: La imágen ha sido tomada de la entrada de la Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_set .