La importancia del orden

No nos referimos al (des)orden imperante en nuestras casas… Hablamos del orden de los términos de una serie. Y es que un resultado muy llamativo es que una serie, digamos $\sum_{n=0}^\infty a_n$ convergente que no sea absolutamente convergente (es decir, tiene términos positivos y negativos y cumple que $\sum_{n=0}^\infty |a_n|=\infty$ ) si se reordena ¡¡se puede hacer que sume cualquier número!!

Teorema: Sea $\sum_{n=0}^\infty a_n$ una serie tan que $\sum_{n=0}^\infty a_n<\infty$ y $\sum_{n=0}^\infty |a_n|=\infty$ . Entonces para todo $A\in\mathbb{R}$ se tiene que existe $g(n)$ tan que $\sum_{n=0}^\infty a_{g(n)}=A.$

¿Cómo podemos probar un resultado tan raruno? Bueno, veamos la idea, supongamos que $A=\pi$ para fijar ideas. Dado que este mes ha sido el día de $\pi$ esta elección tiene su gracia ;). Ahora sumemos términos positivos de la serie hasta exceder el valor de $\pi$ . Ahora sumemos términos de signo negativo hasta que la suma parcial sea menor que $\pi$ . Ahora volvemos a sumar términos positivos hasta exceder $\pi$ y así sucesivamente. No diréis que no es ingenioso y llamativo.

–Nota 1: Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas del mes de Marzo. Ésta vez ha sido organizado por Hablando de Ciencia

Scientia potentia est

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