Bueno, ayer por la noche acabó el plazo para votar la mejor entrada del Carnaval de Matemáticas de Febrero (aquí el resumen actualizado). El resultado es el siguiente:
Felicidades al ganador :-). Nos vemos en el próximo Carnaval que organiza Hablando de Ciencia.
Llega el momento de votar la mejor entrada del mes de Febrero. Para que os sea más fácil os dejo el resumen del Carnaval.
Empezamos con las que aparecieron antes de tiempo:
Fuera de plazo (pero igualmente interesantes) :-):
Lunes 20 de Febrero:
Martes 21 de Febrero:
Miércoles 22 de Febrero:
Viernes 24 de Febrero:
Sábado 25 de Febrero:
Domingo 26 de Febrero:
Para votar tenéis que dejar antes del 15 de Marzo, en un comentario en este mismo post, vuestra opinión y vuesto perfil de la comunidad bligoo.
–Actualización: He añadido las entradas de la Covacha Matemática que entraron en el plazo correcto.
Desde el año 1857 en el que Riemann usó la palabra ‘móduli’ como sinónimo de parámetro, los matemáticos la siguieron aplicando (de manera un tanto imprecisa) para designar aquellos parámetros que miden o describen la variación de objetos geométricos en Geometría Algebraica. Sin embargo, no fue hasta 1960 cuando David Mumford dio una definición formal y precisa de espacios de móduli y explicó cómo construirlos obteniendo soluciones en algunos casos.
¿Por qué nos interesan los espacios de móduli?
Aunque a algunas personas les gusta ver a los espacios de móduli como objetos geométricos cuyos puntos tienen significado, quizás una forma más intuitiva de concebirlos sea como un mapa o un dibujo de un cierto conjunto. Por ejemplo, si tenemos una lista de las 17 comunidades autónomas, sus tamaños y otra lista detallando qué estados son limítrofes, será difícil bosquejar cómo es nuestro país. Sin embargo, un mapa nos permitirá hacernos una idea realista del territorio. Por tanto, en este caso, un mapa de España sería el espacio de móduli de las autonomías.
Ingredientes para la construcción de un espacio de móduli
Los espacios de móduli surgen de manera natural en los problemas de clasificación geométricos como sus soluciones geométricas. Un ejemplo típico (y real) de tales problemas es la clasificación de las curvas proyectivas complejas no singulares salvo isomorfismo (o equivalentemente, superficies de Riemann compactas salvo biholomorfismo).
Un ‘espacio de móduli’ es una variedad compleja (o variedad algebraica) cuyos puntos corresponden (de manera natural) a las clases de equivalencia de los objetos que queremos clasificar. Por tanto, si queremos construir un espacio de móduli precisaremos de los siguientes ingredientes:
Cabe observar que para identificar dos objetos en Matemáticas debemos usar relaciones de equivalencia y definir así un cociente, operación no inmediata en Geometría Algebraica pues algunas sutilezas deben tenerse en cuenta. Si estamos trabajando con objetos que poseen ciertas propiedades queremos que el cociente disfrute de las mismas. Sin embargo, esto no suele ocurrir pues es habitual que en el cociente no se puedan separar puntos mediante entornos abiertos (no sea Haussdorff).
Para solucionar estos problemas David Mumford desarrolló la Teoría Geométrica de Invariantes (GIT en sus siglas en Inglés) que resolvía estas cuestiones y que le valió la Medalla Fields en 1974. Su idea fue eliminar aquellos objetos ‘malos’ que nos daban problemas y construir así un objeto geométrico razonable que será el espacio de móduli. Por ejemplo, el espacio de móduli de las curvas proyectivas complejas no singulares existe pero si queremos incluir las singulares (quizás sea interesante comprender cómo las curvas no singulares pueden degenerar a aquellas singulares) debemos dejarlas fuera (las llamaremos órbitas inestables) y obtener así una variedad algebraica y, por tanto, un espacio de móduli.
Un ejemplo, por favor
Supongamos que queremos describir la colección de todas las rectas en el plano $latex\mathbb{R}^{2}$ que pasan por el origen (en adelante, por brevedad, rectas). Para empezar, una buena idea es encontrar un número que parametrice los objetos que queremos clasificar. En nuestro caso, si utilizamos coordenadas cartesianas, utilizaremos como parámetro el ángulo $\theta$ que forma la recta con el eje 
Sin embargo, no podemos olvidar que estamos buscando una solución \textbf{geométrica} a nuestro problema de clasificación. Para ello, si dos rectas están cerca, sus ángulos deberán ser casi iguales y, por tanto, los puntos correspondientes en el intervalo deberían estar muy próximos. En particular, aquellas rectas 
Una forma de hacer esto es tomar el intervalo cerrado ![[0,\pi]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5B0%2C%5Cpi%5D&bg=T&fg=000000&s=0 "[0,\pi]")
Interacción con la Física
El procedimiento descrito más arriba de estudiar los invariantes o la Geometría no del espacio original sino de un espacio de móduli construido a partir de él se interpretó más tarde como un tipo de Teoría Cuántica de Campos traduciéndose en una interacción fructífera entre la Física y la Geometría. Por ejemplo, la interacción con la Teoría de Cuerdas en Física ha sido especialmente productiva para la Geometría Algebraica pues esta teoría requiere geometrías complicadas de dimensiones altas y, de hecho, precisan de aquellos espacios (variedades de Calabi-Yau) que no se han podido tratar por medio de los invariantes clásicos.
Bibliografía:
BEN-ZVI, D.D., Moduli Spaces, Princeton Companion to Mathematics, 2008.
GARCÍA-PRADA, O. Moduli Spaces and Geometric Structures. Apéndice en Differential Analysis on Complex Manifolds, 1972.
KIRWAN, F. Moduli Saces in Algebraic Geometry. Moduli Spaces in Mathematics and Physics, Hindawi, 1998.
Fdo: David Fernández
–Nota: Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas en su edición 3.1 organizado esta vez en este blog.
En esta entrada hacemos una breve revisión de un tema que nos parece muy interesante: el efecto que tiene la bacteria wolbachia en unas subespecies particulares de saltamontes, Chorthippus parallelus parallelus y Chorthippus parallelus erythropus. La distribución de estos animalejos se solapa en los Pirineos, donde forman una zona híbrida (ZH), es decir, una región donde individuos de las dos subespecies se encuentran, se cruzan y dan lugar a descendencia híbrida, en aquellos puntos en los que la orografía y sus requerimientos ecológicos lo permiten. Esta ZH responde a un contacto secundario entre poblaciones endémicas ibéricas (Cpe) y de la Europa continental (Cpp), que se expandieron después de la última glaciación desde aquellos refugios en los que habían divergido genéticamente en alopatría, esto es, especiación por aislamiento geográfico.
Las diferencias morfológicas, fisiológicas, genéticas y de comportamiento entre estas subespecies (y sus híbridos naturales y de laboratorio) han sido intensamente estudiadas en estos últimos años, por lo que esta ZH se considera un modelo singular en Biología Evolutiva (Bella et al., 2010). Estos estudios muestran un escenario complejo, con un número considerable de causas involucradas en el origen, estructura y mantenimiento de dicha ZH y ofrecen una muy buena panorámica de la evolución “en acción”. ¡Por esto es importante e interesante!
Por otra parte, Wolbachia es una bacteria endosimbionte obligada (esto es, sin palabras de brujo, que vive exclusivamente en el interior de las células del insecto al que infecta) que induce alteraciones en la reproducción de diversos organismos, fundamentalmente artrópodos y nematodos. Esta bacteria induce, por ejemplo, feminización de los machos o incluso su muerte selectiva. También producen incompatibilidad citoplasmática que consiste en la incapacidad de un macho infectado de tener descendencia con una hembra que no esté infectada (Serbus et al., 2008). Esto condiciona los cruzamientos entre poblaciones infectadas en distintos grado por esta bacteria, lo que se ha planteado como un posible ejemplo de “especiación por infección” (Wade, 2001).
En estudios previos hemos profundizado en la Biología de este microrganismo y hemos comprobado que en la ZH de Chorthippus genera una barrera reproductiva considerable (Zabal-aguirre et al., 2010; Bella et al., 2010), lo que apunta a que, efectivamente, esta bacteria puede promover fenómenos de especiación.
Debido a su peculiar forma de transmisión, de madres a hijos, la dinámica de la infección por Wolbachia es compleja. A su vez la forma por la cual la infección pueda condicionar los cruzamientos que se producen en una población y sus repercusiones a largo plazo son dificiles de estudiar en el laboratorio. Más aun en condiciones naturales. Es por esto. que la infección por Wolbachia ha sido modelizada matemáticamente (¡aquí aparece la caballería!) con el fin de conocer hasta qué punto esta bacteria influye en las poblaciones a las que infecta (Turelli et al., 1994; Telschow et al., 2005; 2007; Vautrin et al., 2007).
Bien, hasta aquí el tema y la historia que hay detrás, pero ¿qué hemos hecho nosotros? Pues hemos continuando con los estudios de Vautrin et al. (2007), implementando una variante de este modelo para analizar (i) cómo podría evolucionar la infección por Wolbachia en una población modelo de Chorthippus parallelus y por otra parte (ii) cómo influirían algunas variables ambientales, por ejemplo la temperatura, en la dinámica de la infección. Nuestro modelo sigue el siguiente esquema
Como nos está quedando un poco largo ya, vamos a concluir con la referencia del trabajo por si alguien está interesado en abundar más:
Wolbachia infection in Chorthippus parallelus: Intra-generational frequency variation, P. Martínez-Rodríguez, R. Granero-Belinchón, F Arroyo-Yebras y J.L. Bella. (aquí hay un poster sobre este tema).
Referencias:
–Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Biología en su décima edición organizado por Scientia y en el de Matemáticas, que organizamos nosotros.
Kurt Gödel fue uno de los más grandes lógicos
de todos los tiempos. Ocupa, junto a Bertrand Russell, la más alta
posición del siglo XX en cuestiones de fundamentos o filosofía
de las Matemáticas.
En 1930 entró a formar parte del cuerpo docente de la
Universidad de Viena. Por su condición de judío se vio obligado
a abandonar la ciudad durante la ocupación alemana de Austria y a
emigrar a Estados Unidos, donde pasó a ocupar una plaza de
profesor en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton,
institución que ya había visitado con anterioridad.
En 1931 publicó el artículo “Sobre proposiciones
formalmente indecidibles del Principia Mathematica y sistemas
relacionados”, en el que propuso sus dos teoremas de la
incompletitud, el primero establece que ninguna teoría finitamente
axiomatizable y capaz de derivar los postulados de Peano (esto es,
abarcar un nivel mínimo de complejidad) es a la vez consistente y
completa.
En otras palabras, si se intenta elaborar una teoría
fundacional de las matemáticas que establezca los axiomas y las
reglas de inferencia asociadas a los mismos, de modo que sea posible
estipular con precisión qué es y qué no es un axioma, la
teoría resultante será bien insuficiente (no permitirá derivar
los postulados de Peano), incompleta (existirá al menos una
proposición matemáticamente válida que no será derivable de
la teoría) o inconsistente.
El segundo teorema de la incompletitud, corolario del
primero, afirma que si una teoría es finitamente axiomatizable,
consistente y capaz de derivar los postulados de Peano, entonces
dicha teoría no puede probar su propia consistencia. Mediante la
demostración de las imperfecciones del sistema axiomático como
herramienta, heredada de los antiguos griegos, para la elaboración
de teorías complejas, completas y consistentes, la obra de
Gödel echó definitivamente por tierra las empresas
formalistas (Hilbert) y logicistas (Russell y Whitehead) y, en
definitiva, más de un siglo de intentos de desarrollar una
fundamentación de las matemáticas basada en dichos
instrumentos.
Básicamente: deben existir fórmulas verdaderas en las
matemáticas y en la lógica para las cuales no es posible
demostrar su verdad ni su falsedad, siendo de este modo las
matemáticas un sistema incompleto.
Llegó a ser un gran amigo de Einstein, y trabajaron
juntos los aspectos filosóficos y matemáticos de la Teoría
General de la Relatividad. Gödel incluso trabajó con
éxito en las ecuaciones del campo gravitatorio, encontrando
soluciones sorprendentes. También dedicó gran parte de su tiempo
al estudio del concepto de tiempo, publicando varios artículos y
dando varias conferencias sobre el tema.
Bueno, pues resulta que a este señor se le
ocurrió además probar la existencia de Dios…si, así como lo
leen; y con semejante palmarés, se cuida uno de dudar así como
así…¿o no?.
Esta es, en términos no formales, su demostración:
Axioma 1. (Dicotomía) Una propiedad es positiva si, y sólo si, su negación es
negativa.
Axioma 2. (Cierre) Una propiedad es positiva si contiene necesariamente una propiedad
positiva.
Teorema 1. Una propiedad positiva es lógicamente consistente (por ejemplo, existe algún caso
particular).
Definición. Algo es semejante a Dios si, y solamente si, posee todas las propiedades
positivas.
Axioma 3. Ser semejante a Dios es una propiedad
positiva.
Axioma 4. Ser una propiedad positiva (lógica, por consiguiente) es ser
necesaria.
Definición. Una propiedad 
Teorema 2. Si
Definición. 
esencial.
Axioma 5. Ser 
Teorema 3. Existe necesariamente alguna
semejante a Dios.
El argumento se basa en las reflexiones de San Anselmo.
Este define a Dios como el ser más grande en el universo. Nada hay
más que se pueda imaginar. Por el contrario, si Dios no existiera,
entonces un ser superior de alguna forma tiene que existir, las
cosas no se crearon de la nada hace millones de años. Como
no fue posible explicar eso, entonces por definición, Dios tuvo
que existir. Solo que no es el Dios que todos tenemos en mente, solo
la energía pura que nos rodea.
¿Cómo se puede enjuiciar una demostración tan
abstracta? Muchos lógico-matemáticos no han sido capaces de
explicar todos los aspectos de la prueba, y por lo tanto es muy
difícil asegurar su completa naturaleza. Cabe entonces
preguntarse: ¿Es esta demostración el resultado de una
meditación profunda, o es el desvarío de un lunático?
(Gödel en la parte final de su vida sufrió importantes
trastornos mentales). En cualquier caso, quizás cuestionarse la
existencia de El, de modo que nos lleve más allá del mero
ejercicio intelectual, podría resultar peligroso…quizás no nos
esté permitido acercarnos demasiado a la verdad.
FDO: Rolby Milián
–Nota: Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas en su edición 3.1, organizado esta vez por este mismo blog.
A lo largo de la historia de las Matemáticas ha habido problemas famosos. Muchas veces estos problemas pertenecen al área de la Teoría de Números y algunos hasta se pueden explicar claramente sin el uso de tecnicismos. En este caso vamos a considerar el problema de sumar infinitos términos. Esto en matemáticas es lo que se denomina una serie. Esta entrada es la primera que escribimos sobre el problema de Basilea pero no será la última (también recomendamos la lectura de las entradas de Gaussianos aquí y aquí). En este escrito vamos a tratar de explicar rápidamente los avances en este problema que hizo Jacob Bernoulli. Éste problema, que debe su nombre a la ciudad natal de Euler (1707–1783) y la familia Bernoulli, consiste en hallar la suma de
Está claro que siendo un problema conocido en la época de Euler éste tenía que trabajar en el. Sin embargo, dejaremos sus trabajos en esta serie para futuras entradas del blog.
Este problema aparece por primera vez en Novae quadraturae arithmeticae, libro escrito en 1650 por Pietro Mengoli (1625–1686), que fue alumno de Cavalieri (1598–1647) y profesor de la Universidad de Bolonia. Próximamente tendremos que escribir una entrada sobre los trabajos en series de Mengoli.
Desde que se propuso el problema hasta la aparición de Jacob Bernoulli el único avance es la obtención de nueva aproximaciones al valor final (que en esa época ni siquiera se sabia si existía). Esto no es un tema baladí porque esta serie tiene un convergencia muy lenta porque sus términos no decaen excesivamente rápido.
Lo primero que hizo Jacob fue probar que efectivamente la serie sumaba un valor finito. Esto, que puede parecer obvio no lo es en absoluto, pues hay series, las llamadas divergentes, cuya suma es infinito (es decir, la suma diverge). ¿Cómo lo hizo? Pues acotó (1) por algo que él sabía sumar y por lo tanto probó que la suma debía ser un número finito. En concreto el escribió
Además, como todas las series
con 
se obtiene que todas estas series convergen.
El segundo es que para una serie del tipo más general (2), la suma de (sólo) sus términos impares es
Para probar esta última afirmación basta multiplicar toda la serie (2) por 
Así tras su trabajo se sabía que efectivamente podían tratar de sumar la serie porque el valor era finito y que además podían considerar también el problema de la serie generalizada (2). En la próxima entrada veremos cómo Euler consigue una serie cuya suma es la misma que la suma de (1) pero con una convergencia mucho más rápida, de manera que hacer aproximaciones a la suma total dejó de ser un tema laborioso.
Esto de las series es un tema entretenido, así que para no abusar y disfrutar sólo nosotros, os dejamos un problemita muy sencillo:
¡Ejercitando las neuronas!
¿Sabríais demostrar que la serie
converge? ¿Sabríais calcular su valor? ¿y la serie
? Y por último ¿podríais decir si la serie
converge?
Tal y como dijimos en el resumen que sacamos ayer estábamos preparando, como segunda aportación al Carnaval de Matemáticas en su edición 3.1, una entrada sobre el problema de Basilea.
–Nota: El texto anterior está basado en el artículo
Rafael Granero Belinchón, El problema de Basilea: Historia y algunas demostraciones. La Gaceta de la RSME, vol 12, num 4, pag 721-737, 2009.
En esta entrada vamos a ir recopilando las entradas que han participado en el Carnaval de Matemáticas de Febrero.
Empezamos con las que aparecieron antes de tiempo:
Fuera de plazo (pero igualmente interesantes) :-):
Lunes 20 de Febrero:
Martes 21 de Febrero:
Miércoles 22 de Febrero:
Viernes 24 de Febrero:
Sábado 25 de Febrero:
Domingo 26 de Febrero:
Y con esto y un bizcocho… hemos acabado con esta edición. Próximamente las votaciones. Os dejo este video para amenizaros un ratillo:
PD: Si alguien nota que falta, por favor que nos avise.
Siendo esta semana el Carnaval de Matemáticas en este mismo blog, está claro que el título de la entrada no se refiere a familias grandes. Hablamos de esos curiosos números que sólo son divisibles por ellos mismos y por la unidad, los números primos.
Mucha gente conoce los siguientes resultados:
Teorema: Todo número es primo o producto o primos.
Teorema: Hay infinitos números primos.
El primero se conoce como Teorema Fundamental de la Aritmética o de la Factorización Única. En esta entrada trataremos el segundo.
Una prueba de que hay infinitos primos, quizá la más conocida, es muy sencilla. Es el ejemplo arquetípico de prueba por reducción al absurdo: Supongamos que existe un número finito de primos
Nada nuevo bajo el sol hasta aquí. Pero resulta que el día 16 de Febrero de este año, es decir, el Jueves pasado publicaron en el servidor de preprints Arxiv una nueva prueba (hay multitud de ellas). Además de nueva es sencilla, así que se me ocurrió contarla aquí. La prueba se debe a Romeo Mestrovic. Veamos cómo es: sabemos que 2 es primo y que 3 también lo es, por lo tanto, gracias al Teorema de Factorización Única, se tiene
Ahora bien: podemos escribir
con 
Tenemos entonces 
–Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas que organizamos nosotros :-).
–Referencia: Romeo Mestrović, EUCLID’S THEOREM ON THE INFINITUDE OF PRIMES: A HISTORICAL SURVEY OF ITS PROOFS (300 B.C.–2012) AND ANOTHER NEW PROOF, Arxiv preprint.
Como estudiante de doctorado, es una pregunta que me han hecho mil y una veces. Voy a tomar la solución a esta respuesta al estilo “físico teórico”:
Orden cero:
Las respuestas más comúnes que obtengo cuando le digo a la gente que soy físico son:
“¡Hala!”
“¡Uff, qué difícil!”.
Podría decirse que esa respuesta es invariante.
Mi réplica suele ser casi siempre la misma:
“En realidad, no es tan complicado: como en casi todo, lo más importante es la dedicación y la motivación. Por ejemplo, yo no podría ser abogado, pues require habilidades que no poseo.”
Y, si mi interlocutor no está más interesado en la ciencia porque no lo considere cultura (a pesar de lo que el Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española tenga que decir al respecto), el tema se acaba ahí.
Si tuviese que contar las veces que doy esta respuesta, diría que, aproximadamente, sirve el 50% de las veces.
Primer orden:
Supongamos que tenemos a alguien enfrente con algo más de interés:
“Y ¿qué estudias?”
A menos que sepa que la persona con la que estoy hablando tiene un cierto bagaje científico, suelo sacar, de modo tímido, las siguientes palabras de mi boca:
“¿Conoces la mecánica cuántica?”
La palabra “cuántico” se repite habitualmente en los programas de divulgación, de modo que casi todo el mundo “sabe” que tiene que ver con las cosas MUY pequeñas (aunque cada vez más grandes).
Cuando observamos las cosas a escalas macroscópicas (como, por ejemplo, milimetros, centímetros, metros, y mayores), tenemos la sensación de que todo es contínuo, sin saltos. Sin embargo, cuando miramos las cosas más de cerca, como haciendo “zoom” a los detalles más pequeños, las cosas comienzan a verse como hechas a base de “trozos” o “pedazos” más pequeños, llamados “cuantos”.
Si nos acercamos a las figuras de la izquierda, por mucho que nos acerquemos, nos pareceran "solidas". Algo discreto carece de esa "solidez", y se asemeja a una montaña de arena: desde lejos parece sólida, pero cuando te acercas ves que está formada a base de granitos.
Con la palabra “cuanto” no me refiero a las piezas que, al unirse, forman máquinas más complejas: si nos acercásemos a cada una de esas piezas, nos parecería como si fuesen totalmente solidas y contínuas. Sin embargo, si seguimos acercándonos, podemos ver como esa solidez es totalmente artificial, pues la materia está formada por moléculas, átomos y otras partículas indivisibles. Si estirásemos un poco la analogía, podríamos suponer que esa materia “sólida” o “contínua” es como un cuadro puntillista: de cerca se observa que el cuadro está pintado a base de pinceladas puntuales de diversos colores pero, al alejarse, uno puede ver como los colores se van fundiendo, degradados apareciendo, y el conjunto del cuadro sale a la vista como si hubiese sido pintado con trazos contínuos.
Pero, volviendo a la cuestión que nos atañe, una vez que me aseguro de que la persona sabe a lo que me refiero, continúo con lo siguiente:
“Mi campo es la óptica cuántica: si la óptica se encarga de estudiar los fenómenos de la luz, en vez de imaginar la luz como una sustancia continua de la que podemos obtener una cantidad arbitrariamente pequeña, nosotros la consideramos compuesta de pequeños trozos o cuantos de luz llamados fotones.
Además, también estudiamos las interacciones de la luz con los cuantos de materia. En mi caso, con los átomos.”
Y, hasta aquí, me parece una respuesta que atañe al 90% de mis interacciones.
Podría continuar con el segundo orden, con mayor precisión y contenido en detalles, pero esa es otra historia y deberá ser contada en otro momento (Aunque puedo adelantar que aparecen láseres)
