Kurt Gödel fue uno de los más grandes lógicos
de todos los tiempos. Ocupa, junto a Bertrand Russell, la más alta
posición del siglo XX en cuestiones de fundamentos o filosofía
de las Matemáticas.

En 1930 entró a formar parte del cuerpo docente de la
Universidad de Viena. Por su condición de judío se vio obligado
a abandonar la ciudad durante la ocupación alemana de Austria y a
emigrar a Estados Unidos, donde pasó a ocupar una plaza de
profesor en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton,
institución que ya había visitado con anterioridad.

En 1931 publicó el artículo “Sobre proposiciones
formalmente indecidibles del Principia Mathematica y sistemas
relacionados”, en el que propuso sus dos teoremas de la
incompletitud, el primero establece que ninguna teoría finitamente
axiomatizable y capaz de derivar los postulados de Peano (esto es,
abarcar un nivel mínimo de complejidad) es a la vez consistente y
completa.

En otras palabras, si se intenta elaborar una teoría
fundacional de las matemáticas que establezca los axiomas y las
reglas de inferencia asociadas a los mismos, de modo que sea posible
estipular con precisión qué es y qué no es un axioma, la
teoría resultante será bien insuficiente (no permitirá derivar
los postulados de Peano), incompleta (existirá al menos una
proposición matemáticamente válida que no será derivable de
la teoría) o inconsistente.

El segundo teorema de la incompletitud, corolario del
primero, afirma que si una teoría es finitamente axiomatizable,
consistente y capaz de derivar los postulados de Peano, entonces
dicha teoría no puede probar su propia consistencia. Mediante la
demostración de las imperfecciones del sistema axiomático como
herramienta, heredada de los antiguos griegos, para la elaboración
de teorías complejas, completas y consistentes, la obra de
Gödel echó definitivamente por tierra las empresas
formalistas (Hilbert) y logicistas (Russell y Whitehead) y, en
definitiva, más de un siglo de intentos de desarrollar una
fundamentación de las matemáticas basada en dichos
instrumentos.

Básicamente: deben existir fórmulas verdaderas en las
matemáticas y en la lógica para las cuales no es posible
demostrar su verdad ni su falsedad, siendo de este modo las
matemáticas un sistema incompleto.

Llegó a ser un gran amigo de Einstein, y trabajaron
juntos los aspectos filosóficos y matemáticos de la Teoría
General de la Relatividad. Gödel incluso trabajó con
éxito en las ecuaciones del campo gravitatorio, encontrando
soluciones sorprendentes. También dedicó gran parte de su tiempo
al estudio del concepto de tiempo, publicando varios artículos y
dando varias conferencias sobre el tema.

Bueno, pues resulta que a este señor se le
ocurrió además probar la existencia de Dios…si, así como lo
leen; y con semejante palmarés, se cuida uno de dudar así como
así…¿o no?.

Esta es, en términos no formales, su demostración:

Axioma 1. (Dicotomía) Una propiedad es positiva si, y sólo si, su negación es
negativa.

Axioma 2. (Cierre) Una propiedad es positiva si contiene necesariamente una propiedad
positiva.

Teorema 1. Una propiedad positiva es lógicamente consistente (por ejemplo, existe algún caso
particular).

Definición. Algo es semejante a Dios si, y solamente si, posee todas las propiedades
positivas.

Axioma 3. Ser semejante a Dios es una propiedad
positiva.

Axioma 4. Ser una propiedad positiva (lógica, por consiguiente) es ser
necesaria.

Definición. Una propiedad  es la esencia de  si, y sólo si,  contiene a  y  es necesariamente mínima.

Teorema 2. Si  es semejante a Dios, entonces ser semejante a Dios es la esencia de
.

Definición. :  existe necesariamente si tiene una propiedad
esencial.

Axioma 5. Ser  es ser semejante a Dios.

Teorema 3. Existe necesariamente alguna tal que  es
semejante a Dios.

El argumento se basa en las reflexiones de San Anselmo.
Este define a Dios como el ser más grande en el universo. Nada hay
más que se pueda imaginar. Por el contrario, si Dios no existiera,
entonces un ser superior de alguna forma tiene que existir, las
cosas no se crearon de la nada hace millones de años. Como
no fue posible explicar eso, entonces por definición, Dios tuvo
que existir. Solo que no es el Dios que todos tenemos en mente, solo
la energía pura que nos rodea.

¿Cómo se puede enjuiciar una demostración tan
abstracta? Muchos lógico-matemáticos no han sido capaces de
explicar todos los aspectos de la prueba, y por lo tanto es muy
difícil asegurar su completa naturaleza. Cabe entonces
preguntarse: ¿Es esta demostración el resultado de una
meditación profunda, o es el desvarío de un lunático?
(Gödel en la parte final de su vida sufrió importantes
trastornos mentales). En cualquier caso, quizás cuestionarse la
existencia de El, de modo que nos lleve más allá del mero
ejercicio intelectual, podría resultar peligroso…quizás no nos
esté permitido acercarnos demasiado a la verdad.

FDO: Rolby Milián

–Nota: Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas en su edición 3.1, organizado esta vez por este mismo blog.