¿Qué hizo Jacob Bernoulli con el problema de Basilea?

A lo largo de la historia de las Matemáticas ha habido problemas famosos. Muchas veces estos problemas pertenecen al área de la Teoría de Números y algunos hasta se pueden explicar claramente sin el uso de tecnicismos. En este caso vamos a considerar el problema de sumar infinitos términos. Esto en matemáticas es lo que se denomina una serie. Esta entrada es la primera que escribimos sobre el problema de Basilea pero no será la última (también recomendamos la lectura de las entradas de Gaussianos aquíaquí). En este escrito vamos a tratar de explicar rápidamente los avances en este problema que hizo Jacob Bernoulli. Éste problema, que debe su nombre a la ciudad natal de Euler (1707–1783) y la familia Bernoulli, consiste en hallar la suma de

\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\quad (1)

Está claro que siendo un problema conocido en la época de Euler éste tenía que trabajar en el. Sin embargo, dejaremos sus trabajos en esta serie para futuras entradas del blog.

Este problema aparece por primera vez en Novae quadraturae arithmeticae, libro escrito en 1650 por Pietro Mengoli (1625–1686), que fue alumno de Cavalieri (1598–1647) y profesor de la Universidad de Bolonia. Próximamente tendremos que escribir una entrada sobre los trabajos en series de Mengoli.

Desde que se propuso el problema hasta la aparición de Jacob Bernoulli el único avance es la obtención de nueva aproximaciones al valor final (que en esa época ni siquiera se sabia si existía). Esto no es un tema baladí porque esta serie tiene un convergencia muy lenta porque sus términos no decaen excesivamente rápido.

Lo primero que hizo Jacob fue probar que efectivamente la serie sumaba un valor finito. Esto, que puede parecer obvio no lo es en absoluto, pues hay series, las llamadas divergentes, cuya suma es infinito (es decir, la suma diverge). ¿Cómo lo hizo? Pues acotó (1) por algo que él sabía sumar y por lo tanto probó que la suma debía ser un número finito. En concreto el escribió

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}<2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 + n}=2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=2

Además, como todas las series

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k},\quad (2)

con k\ge 2 cumplen

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k}<\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}<2,

se obtiene que todas estas series convergen.

El segundo es que para una serie del tipo más general (2), la suma de (sólo) sus términos impares es

\displaystyle\frac{2^k-1}{2^k}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k}

Para probar esta última afirmación basta multiplicar toda la serie (2) por 2^{-k}, con lo que la serie que conseguimos es la de los términos pares, y ahora restar esta serie de la original.

Así tras su trabajo se sabía que efectivamente podían tratar de sumar la serie porque el valor era finito y que además podían considerar también el problema de la serie generalizada (2). En la próxima entrada veremos cómo Euler consigue una serie cuya suma es la misma que la suma de (1) pero con una convergencia mucho más rápida, de manera que hacer aproximaciones a la suma total dejó de ser un tema laborioso.

Esto de las series es un tema entretenido, así que para no abusar y disfrutar sólo nosotros, os dejamos un problemita muy sencillo:

¡Ejercitando las neuronas!

¿Sabríais demostrar que la serie \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} converge? ¿Sabríais calcular su valor? ¿y la serie \sum_{n=0}^\infty (-1)^n? Y por último ¿podríais decir si la serie \sum_{n=0}^\infty \frac{n}{2^n} converge?

Tal y como dijimos en el resumen que sacamos ayer estábamos preparando, como segunda aportación al Carnaval de Matemáticas en su edición 3.1, una entrada sobre el problema de Basilea.

–Nota: El texto anterior está basado en el artículo

Rafael Granero Belinchón, El problema de Basilea: Historia y algunas demostraciones. La Gaceta de la RSME, vol 12, num 4, pag 721-737, 2009.