Tradicionalmente los matemáticos que trabajamos en el área de ecuaciones en derivadas parciales estudiamos problemas que vienen de procesos físicos. Es el caso de la ecuación del calor, la ecuación de Poisson o la ecuación de ondas. En esta entrada vamos a exponer dos métodos para resolver la ecuación de ondas. Estos métodos al tener un planteamiento distinto dan una información distinta. Veremos así diferencias entre pensar en las ecuaciones sólo o pensar en el fenómeno que modelizan. La ecuacion de ondas es
junto a dos valores iniciales (tiene dos derivadas en tiempo) y las condiciones de contorno, que aquí tomamos dirichlet homogéneas. Esta ecuación refleja la separación del equilibrio de la cuerda en tiempo t y en el punto x.
Jean Le Rond D’Alembert demostró que si consideramos toda la recta (es decir, sin contornos) entonces podemos escribir la solución como una superposición de ondas, una que viaja hacia la derecha y otra que viaja hacia la izquierda. Estas ondas se escriben en función de los valores iniciales. Podemos hacer lo mismo en dominios acotados o semi acotados, pero es más lío.
Esta aproximación es puramente teórica, muchas ecuaciones admiten solución en forma de onda viajera (por ejemplo la de Fisher-Kolmogorov, 
). En este caso podemos esperarlo si observamos que podemos ‘factorizar’ el operador como dos operadores de transporte Continue reading
). En este caso podemos esperarlo si observamos que podemos ‘factorizar’ el operador como dos operadores de transporte Continue reading 
(sistema físico).
es energía cinética, que depende de la velocidad 
; y 
es energía potencial, que depende del potencial 
en el lugar donde la particula se encuentra. Entonces se tiene, si la posición de la partícula se denota como 
, que el lagrangiano es
![A[x]=\int_0^t L(x)dt.](https://s0.wp.com/latex.php?latex=A%5Bx%5D%3D%5Cint_0%5Et+L%28x%29dt.&bg=T&fg=000000&s=0 "A[x]=\int_0^t L(x)dt.")
Esta acción la hemos obtenido de consideraciones físicas como son la definición de energía cinética y potencial.
tal que 
) de nuestra trayectoria 
como una función de 
,=\int_0^t L(y(t))dt](https://s0.wp.com/latex.php?latex=A%5By%5D%28s%29%3D%5Cint_0%5Et+L%28y%28t%29%29dt&bg=T&fg=000000&s=0 "A[y](s)=\int_0^t L(y(t))dt")
,
.\bigg{|}_{s=0}=\frac{d}{ds}\left(\int_0^t L(y(t))dt\right)\bigg{|}_{s=0}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bds%7DA%5By%5D%28s%29%5Cbigg%7B%7C%7D_%7Bs%3D0%7D%3D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bds%7D%5Cleft%28%5Cint_0%5Et+L%28y%28t%29%29dt%5Cright%29%5Cbigg%7B%7C%7D_%7Bs%3D0%7D&bg=T&fg=000000&s=0 "\frac{d}{ds}A[y](s)\bigg{|}_{s=0}=\frac{d}{ds}\left(\int_0^t L(y(t))dt\right)\bigg{|}_{s=0}")
(para el potencial)
(para la energía cinética).
y si integramos por partes en la primera integral nos queda
.
y 
,
una función no lineal, por ejemplo un polinomio. Así, el llamado Método Directo del Cálculo de Variaciones consiste en definir un funcional tal que sus puntos críticos vengan dados por la ecuación que era nuestro problema original.
, deja en un tiempo finito 
de ser un grafo. De otra manera, la ola rompe. Matemáticamente esto es que la derivada espacial de la ola se hace infinita en algún punto. El resultado de hace unos días que he mencionado más arriba abunda más en esta línea. Lo que A. Castro, D. Córdoba, C. Fefferman, F. Gancedo y J. Gómez prueban es que existen olas que empiezan siendo curvas suaves y que en un tiempo finito se tocan. Es decir, se ha perdido la propiedad de ser una curva sin autointersecciones. Así es plausible el escenario de comenzar con un grafo, evolucionar hasta perder la propiedad de ser un grafo, es decir, la ola rompe, y, al continuar pasando el tiempo, la curva se acabe autointersecando. Esto es justamente lo que hemos visto en el primer video de esta entrada. Así que podemos concluir dos cosas: una es que algo tan cotidiando como una ola puede ser matemáticamente un problema muy difícil. La segunda cosa que podemos aprender es que nuestro modelo para la dinámica de fluidos funciona en el sentido de que recupera comportamientos reales observados en la naturaleza.
cuyo módulo al cuadrado (que es un número real) nos dará la densidad de probabilidad de que un sistema se encuentre en un cierto estado.
, nos dará la probabilidad de que el sistema (en este caso, nuestro electrón) esté en una zona A del espacio.
, y esta es la madre del cordero.
.
donde C es cierta constante que podemos escribir explícitamente pero que hacerlo nos da una pereza superlativa por lo que lo dejamos ‘para el lector interesado’ ;). La constante es una ensalada de constante de Planck 
, 
, algún dos… Puede escribirse también involucrando sólo una función de onda de la misma manera que se hace con el funcional.
nos da una probabilidad, con función de densidad 
. Así observamos que en realidad el término 
es la 
(que asumimos tiene media x=0, es decir, que nuestro electrón está más o menos rondando el origen de coordenadas espaciales).
.
en el ejemplo anterior) tiene que ser el mismo que el máximo número de derivadas presentes en la expresión. Así como la ecuación anterior tenía una derivada debíamos poner un dato inicial. En el ejemplo del 
necesitamos dos datos iniciales, 
y 
. Supongamos que tenemos una EDO de segundo orden (es decir, con dos derivadas) como la del oscilador armónico, entonces la solución general se escribe como $latex f(t)= c_1 e^{omega t}+ c_2e^{-omega t}$, donde para 
son dos constantes que se fijan usando los datos iniciales. Es decir, el conjunto de soluciones de una EDO linear de segundo orden (sin usar los datos iniciales) es un espacio vectorial (gracias a la linearidad) de dimensión 2 (el número de derivadas). Esta es una diferencia fundamental (y poco conocida entre los físicos) con respecto a las EDPs, pues una EDP tiene un espacio de soluciones de dimensión infinita.
. Nos interesa entonces saber que existe dicha solución, ser capaces de simularla con el ordenador y ser capaces de extraer propiedades cualitativas.
, la existencia se puede segurar si se dan unas propiedades en la expresión 
, a saber, que sea derivable en la variable 
se tienen que aproximar unas integrales, 
. Según el método que usemos tendremos una mejor o peor cota del error cometido. La manera típica, conocida como métodos Runge-Kutta, de hacerlo es considerar una serie de puntos entre dos nodos temporales y calcular el valor de la función F en esos puntos. Después hemos de sumar dichos valores con unos pesos. La teoría de los métodos Runge-Kutta es bien conocida y se puede encontrar en la red sin mucho problema (siempre que se hable un mínimo de inglés al menos). Aquí voy a colgar unos códigos hecho por mí:
). Esto puede hacerse por ejemplo con la distancia mínima. Es decir, a cada punto interior se le asigna un valor que viene dado por la distancia mínima a 
. Esta manera tiene ciertas desventajas, algunas matemáticamente obvias. Por ejemplo podemos convencernos rápidamente de que la ecuación anterior no tiene una única solución. En efecto, consideremos el problema en una dimensión: tenemos así a ecuación diferencial ordinaria 
en un intervalo acotado. Podemos construir infinitas soluciones, basta con ir construyendo triángulos con lados de pendiente 1 o -1. Podemos construirlos más grandes, más pequeños, unos pocos o muchos… Cada una de estas construcciones será una solución ‘débil’ (otro día hablaremos más de la soluciones débiles, hoy lo dejo caer sólo :P).
que tarda una partícula que siga dicho camino aleatorio en golpear 
. Cuando a cada 
el tiempo medio que emplean estas partículas en golpear el contorno del dominio saliendo desde el punto 
(interno de la silueta 
). Entonces si 
se tiene que 
, si no, por ser las probabilidades uniformes se tiene que se puede calcular conociendo los valores de los puntos vecinos. Efectivamente, si estamos en un punto 
y por lo tanto la ecuación anterior es una versión discretizada de 
con datos de borde Dirichlet homogéneos. Sea ahora 
. Entonces se tiene![u(x,y)=E[\tau_{(x,y)}].](https://s0.wp.com/latex.php?latex=u%28x%2Cy%29%3DE%5B%5Ctau_%7B%28x%2Cy%29%7D%5D.&bg=T&fg=000000&s=0 "u(x,y)=E[\tau_{(x,y)}].")
![E[u(X_{\tau_{(x,y)}})]-E[u(x,y)]=E\bigg{[}\int_0^{\tau_{(x,y)}}\Delta u(X_s)ds\bigg{]}.](https://s0.wp.com/latex.php?latex=E%5Bu%28X_%7B%5Ctau_%7B%28x%2Cy%29%7D%7D%29%5D-E%5Bu%28x%2Cy%29%5D%3DE%5Cbigg%7B%5B%7D%5Cint_0%5E%7B%5Ctau_%7B%28x%2Cy%29%7D%7D%5CDelta+u%28X_s%29ds%5Cbigg%7B%5D%7D.&bg=T&fg=000000&s=0 "E[u(X_{\tau_{(x,y)}})]-E[u(x,y)]=E\bigg{[}\int_0^{\tau_{(x,y)}}\Delta u(X_s)ds\bigg{]}.")
![0-u(x,y)=-E\bigg{[}\int_0^{\tau_{(x,y)}}1ds\bigg{]}=-E[\tau_{(x,y)}],](https://s0.wp.com/latex.php?latex=0-u%28x%2Cy%29%3D-E%5Cbigg%7B%5B%7D%5Cint_0%5E%7B%5Ctau_%7B%28x%2Cy%29%7D%7D1ds%5Cbigg%7B%5D%7D%3D-E%5B%5Ctau_%7B%28x%2Cy%29%7D%5D%2C&bg=T&fg=000000&s=0 "0-u(x,y)=-E\bigg{[}\int_0^{\tau_{(x,y)}}1ds\bigg{]}=-E[\tau_{(x,y)}],")
concluyendo la demostración.
y y 
(entre otras). La función 
tiene ciertas propiedades que la hacen interesantes, pero para el tratamiento de imágenes lo más importante es que los valores altos de 
indican concavidades (allí el gradiente es grande) y que podemos utilizar el método del umbral para dividir nuestra forma en partes sin perder información. La función 
(cuyo operador es el 1-Laplaciano) tiene la propiedad de que ciertos valores se alcanzan en zonas curvadas. Por lo tanto sirve para encontrar esquinas en nuestra forma. Los valores negativos de 
indican concavidades. Cuanto más negativo más ‘picuda’ es la concavidad. Al reves también funciona, los valores altos indican convexidades. Así extraemos información de la imagen y el ordenador puede discernir entre ellas.