Actualmente cuando uno piensa en problemas sin resolver en física piensa en la Teoría del Todo, en el bosón de Higgs o en los límites de validez de la mecánica cuántica. Sin embargo, existen problemas que son fáciles de entender que aún no tienen respuesta. Problemas que sólo involucran a la mecánica de Newton y que todavía no sabemos cómo atacar. Vamos a introducir el que nos ocupa con un experimento que puede ser fácilmente realizado en casa. Continue reading
Las matemáticas como ciencia experimental
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). En este caso podemos esperarlo si observamos que podemos ‘factorizar’ el operador como dos operadores de transporte 
y dos eventos o sucesos 
con 
, la probabilidad condicional de ‘A’ dado ‘B’ está definida como:
.
.
y entonces concluye que 
.
. Se tiene que
se concluye que
lo que contradice la presunción de inocencia en casi todos los casos.
, deja en un tiempo finito 
de ser un grafo. De otra manera, la ola rompe. Matemáticamente esto es que la derivada espacial de la ola se hace infinita en algún punto. El resultado de hace unos días que he mencionado más arriba abunda más en esta línea. Lo que A. Castro, D. Córdoba, C. Fefferman, F. Gancedo y J. Gómez prueban es que existen olas que empiezan siendo curvas suaves y que en un tiempo finito se tocan. Es decir, se ha perdido la propiedad de ser una curva sin autointersecciones. Así es plausible el escenario de comenzar con un grafo, evolucionar hasta perder la propiedad de ser un grafo, es decir, la ola rompe, y, al continuar pasando el tiempo, la curva se acabe autointersecando. Esto es justamente lo que hemos visto en el primer video de esta entrada. Así que podemos concluir dos cosas: una es que algo tan cotidiando como una ola puede ser matemáticamente un problema muy difícil. La segunda cosa que podemos aprender es que nuestro modelo para la dinámica de fluidos funciona en el sentido de que recupera comportamientos reales observados en la naturaleza.
). Esto puede hacerse por ejemplo con la distancia mínima. Es decir, a cada punto interior se le asigna un valor que viene dado por la distancia mínima a 
. Esta manera tiene ciertas desventajas, algunas matemáticamente obvias. Por ejemplo podemos convencernos rápidamente de que la ecuación anterior no tiene una única solución. En efecto, consideremos el problema en una dimensión: tenemos así a ecuación diferencial ordinaria 
en un intervalo acotado. Podemos construir infinitas soluciones, basta con ir construyendo triángulos con lados de pendiente 1 o -1. Podemos construirlos más grandes, más pequeños, unos pocos o muchos… Cada una de estas construcciones será una solución ‘débil’ (otro día hablaremos más de la soluciones débiles, hoy lo dejo caer sólo :P).
que tarda una partícula que siga dicho camino aleatorio en golpear 
. Cuando a cada 
le asignamos este 
el tiempo medio que emplean estas partículas en golpear el contorno del dominio saliendo desde el punto 
(interno de la silueta 
). Entonces si 
se tiene que 
, si no, por ser las probabilidades uniformes se tiene que se puede calcular conociendo los valores de los puntos vecinos. Efectivamente, si estamos en un punto 
y por lo tanto la ecuación anterior es una versión discretizada de 
con datos de borde Dirichlet homogéneos. Sea ahora 
. Entonces se tiene![u(x,y)=E[\tau_{(x,y)}].](https://s0.wp.com/latex.php?latex=u%28x%2Cy%29%3DE%5B%5Ctau_%7B%28x%2Cy%29%7D%5D.&bg=T&fg=000000&s=0 "u(x,y)=E[\tau_{(x,y)}].")
![E[u(X_{\tau_{(x,y)}})]-E[u(x,y)]=E\bigg{[}\int_0^{\tau_{(x,y)}}\Delta u(X_s)ds\bigg{]}.](https://s0.wp.com/latex.php?latex=E%5Bu%28X_%7B%5Ctau_%7B%28x%2Cy%29%7D%7D%29%5D-E%5Bu%28x%2Cy%29%5D%3DE%5Cbigg%7B%5B%7D%5Cint_0%5E%7B%5Ctau_%7B%28x%2Cy%29%7D%7D%5CDelta+u%28X_s%29ds%5Cbigg%7B%5D%7D.&bg=T&fg=000000&s=0 "E[u(X_{\tau_{(x,y)}})]-E[u(x,y)]=E\bigg{[}\int_0^{\tau_{(x,y)}}\Delta u(X_s)ds\bigg{]}.")
![0-u(x,y)=-E\bigg{[}\int_0^{\tau_{(x,y)}}1ds\bigg{]}=-E[\tau_{(x,y)}],](https://s0.wp.com/latex.php?latex=0-u%28x%2Cy%29%3D-E%5Cbigg%7B%5B%7D%5Cint_0%5E%7B%5Ctau_%7B%28x%2Cy%29%7D%7D1ds%5Cbigg%7B%5D%7D%3D-E%5B%5Ctau_%7B%28x%2Cy%29%7D%5D%2C&bg=T&fg=000000&s=0 "0-u(x,y)=-E\bigg{[}\int_0^{\tau_{(x,y)}}1ds\bigg{]}=-E[\tau_{(x,y)}],")
concluyendo la demostración.
y y 
(entre otras). La función 
tiene ciertas propiedades que la hacen interesantes, pero para el tratamiento de imágenes lo más importante es que los valores altos de 
indican concavidades (allí el gradiente es grande) y que podemos utilizar el método del umbral para dividir nuestra forma en partes sin perder información. La función 
(cuyo operador es el 1-Laplaciano) tiene la propiedad de que ciertos valores se alcanzan en zonas curvadas. Por lo tanto sirve para encontrar esquinas en nuestra forma. Los valores negativos de 
indican concavidades. Cuanto más negativo más ‘picuda’ es la concavidad. Al reves también funciona, los valores altos indican convexidades. Así extraemos información de la imagen y el ordenador puede discernir entre ellas.
![(t,x)\in [0,T]\times\mathbb{R}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28t%2Cx%29%5Cin+%5B0%2CT%5D%5Ctimes%5Cmathbb%7BR%7D&bg=T&fg=000000&s=0 "(t,x)\in [0,T]\times\mathbb{R}")
. Inmerso en el texto hay imágenes .jpg, imágenes animadas .gif (pinchad en ellas para que empiecen a moverse) y código Matlab (¡usadlo si podéis!).
es una función derivable con derivada continua una vez. La solución de esta ecuación es 
(¡comprobadlo!). Esta ecuación se llama ‘del transporte’ porque lo que hace es eso ‘mueve’ nuestra distribución inicial 
. Entonces la nueva ecuación es
. Si utilizamos el código que propongo con varios valores de 
íbamos a la derecha, para tiempos negativos (o equivalentemente 
) tenemos que ir a la izquierda. Concluímos así que la ecuación del transporte es reversible en tiempo y que la reversibilidad es muy natural si partimos del proceso físico que se modela con esta ecuación.
tuviese más derivadas que 
y utilizamos la segunda ecuación obtenemos
con
usaremos la notación 
. Así si transformamos la ecuación en espacio obtenemos las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs a partir de ahora) indexadas en la longitud de onda 
siguientes
la ecuación es la misma. Por lo tanto si 