¡A votar! (Carnaval de Matemáticas 3.1)

Llega el momento de votar la mejor entrada del mes de Febrero. Para que os sea más fácil os dejo el resumen del Carnaval.

Empezamos con las que aparecieron antes de tiempo:

Fuera de plazo (pero igualmente interesantes) :-):

  • Byron nos presenta un cuento a la usanza de las mil y una noches donde el protagonista ha de resolver un acertijo.
  • Desde el blog El tao de la física nos dejan un curioso experimento donde consiguen hacer circular un triciclo de ruedas cuadradas. No os perdáis cómo se consigue usando un poco de geometría diferencial.
  • En el blog Desafíos Matemáticos nos dejan varios ejemplos de dónde se usa el hiperboloide en la construcción.
  • Nuestro amigo José Manuel en su blog Morvalets nos explica cómo las matemáticas son fundamentales en el tratamiento de imágenes. Por cierto ¿sabéis qué significa la fecha del subtítulo del blog “Localizando en tiempo y frecuencia desde 1642“?
  • El blog Scientia (casi tocayo nuestro :-)) nos deja un post sobre matemáticas y química.

Lunes 20 de Febrero:

  1. Desde el blog Sentido de la Maravilla nos hablan de las máquinas de Turing y de la obra del escritor Neal Stephenson (¡en algunas de sus obras llega a salir Newton!).
  2. Desde el departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la Universidad del País Vasco nos hablan de poesía y matemáticas.
  3. En Hoja y Números nos hablan de la función primorial, es decir, el producto de los primos menores que una cierta cantidad. Casualmente nuestra propia entrada trata de los números primos :-).
  4. Belén Palop en su blog “Reflexiones sobre la educación” nos explica cómo aparece la estadística (al trata con percentiles) en la pediatría.
  5. En Destejiendo el mundo nos explican cómo es posible que los mismos datos estadísticos apoyen tesis distintas haciendo unos ligeros cambios tan sólo.
  6. En Animando la Web nos explican cómo operaban los egipcios sin usar tablas de multiplicar.
  7. En Los matemáticos no son gente seria nos dan su opinión sobre el difícil tema de la enseñanza de las matemáticas a todos los niveles. Es este tema uno bien peliagudo y casi cualquier cosa que se diga sera inexacta en cuanto que al tratarse de un problema tan distinto según el nivel educativo nadie (al menos que yo conozca) tiene experiencia a todos los niveles. Ya puestos hasta voy a dejar una referencia y quizá escriba una entrada con mi opinión personal.
  8. Nosotros participamos con una entrada donde comentamos una nueva prueba de la infinitud de los números primos.
  9. En Números y algo más nos dejan como curiosidad cómo conseguir ecuaciones multigrado. Realmente sorprendente.
  10. Tito Eliatron nos recuerda la conocida anécdota de Bertrand Russel en el papel del Papa :-).
  11. En Espejo Lúdico nos proponen un acertijo basado en uno previo del conocido Sam Loyd.
  12. Desde Gaussianos nos dejan un entrada donde hablan de la serie armónica y su carácter divergente. También sale como estrella invitada la serie de los inversos de los cuadrados, es decir, el Problema de Basilea. Resulta que ahora mismo estamos escribiendo una entrada sobre el Problema de Basilea, con suerte estará para mañana totalmente acabada, y es que vamos a iniciar en este blog una serie de entradas dedicadas a ese tema (igual que ya hicimos con las Paradojas).
  13. La primera entrada que nos deja la Covacha Matemática. 

Martes 21 de Febrero:

  1. Rafalillo desde su blog nos deja una entrada donde explica el origen de la numeración.
  2. El departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias del País Vasco nos deja la observación de que la fecha de hoy es un palíndromo.
  3. ¡En Gaussianos nos dejan un reto! Un problema de cálculo de probabilidades muy interesante.
  4. Nuestra aportación sobre el problema de Basilea. Ésta es la primera de una serie de entradas.
  5. Desde Boadilla del Monte nos dejan una entrada sobre el interesante número de plástico, pariente del número áureo.
  6. Como ayer nos dejaron con ganas, hoy en Animando la Web nos traen la segunda entrada sobre la aritmética de los egipcios.

Miércoles 22 de Febrero:

  1. La tercera contribución de la Universidad del País Vasco. En ésta nos hablan de un concurso de encuadernado de libros donde ganó Jana Sim con una obra basada en la banda de Moëbius.
  2. Un divertido tres en raya que nos viene de parte de Tito Eliatron. Ésta faltaba del Martes… Se nos pasó.
  3. Gaussianos nos deja una entrada sobre cómo pintar caras sonrientes :-).
  4. Nuestra tercera aportación os cuenta ¡cómo experimentar un teorema!
  5. La última entrada es de Tito Eliatron y nos habla de los números trascendentes y su historia.
  6. La entrada de la Covacha Matemática sobre el binomio de Newton.
  7. Y otra entrada de la Covacha con explicando una aplicación de una EDO muy sencilla.
Jueves 23 de Febrero:
  1. Rolby Milián (ICMAT), como estrella invitada en este blog, participa en el carnaval con una entrada sobre Kurt Gödel.
  2. Gaussianos nos deja una entrada con una anécdota interesante de Kepler y Galileo.
  3. Desde Geometría Dinámica nos traen una entrada sobre geometría y su lenguaje.
  4. Juan de Mairena nos habla de Nahs y de sus cartas recientemente desclasificadas.
  5. En el Neutrino nos hablan de Julio Rey Pastor en el aniversario de su muerte.
  6. Desde la Universidad del País Vasco nos hablan de cómo recuerdan en Nature a Alan Turing.
  7. Nuestra aportación de hoy trata sobre un problema de Biología y cómo se usan las matemáticas para tratarlo.
  8. José Luis Rodríguez nos deja una entrada sobre poliedros y mosaicos.

Viernes 24 de Febrero:

  1. Luis, desde Imperio de la Ciencia, nos escribe sobre la magia del número i.
  2. Gaussianos vuelve a contribuir, esta vez con la solución al problema de los cien presos.
  3. Dr. Litos nos escribe en términos generales sobre la importancia de la estadística para no caer en el anumerismo o en engañifas.
  4. Además, acogemos a David Fernández (ICMAT) al publicar una entrada sobre los espacios de Móduli
  5. Siendo ésta su quinta aportación, la Universidad del Pais Vasco nos trae una entrada que mezcla moda y matemáticas.
  6. Tito Eliatrón nos deja una entrada sobre estadística y afirmaciones un “poco” exageradas.
  7. Imperio de la Ciencia nos deja una entrada sobre el número i y los complejos.
  8. El blog Experiencia docet nos deja una entrada sobre cuantización y matemáticas.
  9. Una entrada de la Covacha Matemática sobre cálculo de probabilidades.

Sábado 25 de Febrero:

  1. ZTF nos deja una nueva contribución. Ésta trata sobre un artista gráfico que trata de plasmar la aritmética más básica en su obra.
  2. Guassianos nos deja una entrada sobre la conjetura de Goldbach y la calidad de la educación.
  3. Desde pimedios nos llega una entrada dedicada al producto de Wallis.

Domingo 26 de Febrero:

  1. ZTFNews nos deja una entrada sobre el proyecto Tsunagari.
  2. Zurditorium nos deja una entrada donde ilustra posibles errores al simplificar en una expresión.
  3. El blog Series Divergentes nos deja una entrada sobre el Teorema de Bolzano-Weierstrass.
  4. La mula Francis nos deja una entrada sobre playas su aportación a las matemáticas.
  5. El mundo de las ideas nos deja un post sobre las matemáticas de los cristales.
  6. La última entrada de la covacha matemática, esta vez sobre grafos.

Para votar tenéis que dejar antes del 15 de Marzo, en un comentario en este mismo post, vuestra opinión y vuesto perfil de la comunidad bligoo.

 

–Actualización: He añadido las entradas de la Covacha Matemática que entraron en el plazo correcto.

Una introducción a los espacios de Móduli por David Fernández

Desde el año 1857 en el que Riemann usó la palabra ‘móduli’ como sinónimo de parámetro, los matemáticos la siguieron aplicando (de manera un tanto imprecisa) para designar aquellos parámetros que miden o describen la variación de objetos geométricos en Geometría Algebraica. Sin embargo, no fue hasta 1960 cuando David Mumford dio una definición formal y precisa de espacios de móduli y explicó cómo construirlos obteniendo soluciones en algunos casos.

¿Por qué nos interesan los espacios de móduli?

Aunque a algunas personas les gusta ver a los espacios de móduli como objetos geométricos cuyos puntos tienen significado, quizás una forma más intuitiva de concebirlos sea como un mapa o un dibujo de un cierto conjunto. Por ejemplo, si tenemos una lista de las 17 comunidades autónomas, sus tamaños y otra lista detallando qué estados son limítrofes, será difícil bosquejar cómo es nuestro país. Sin embargo, un mapa nos permitirá hacernos una idea realista del territorio. Por tanto, en este caso, un mapa de España sería el espacio de móduli de las autonomías.

Ingredientes para la construcción de un espacio de móduli

 Los espacios de móduli surgen de manera natural en los problemas de clasificación geométricos como sus soluciones geométricas. Un ejemplo típico (y real) de tales problemas es la clasificación de las curvas proyectivas complejas no singulares salvo isomorfismo (o equivalentemente, superficies de Riemann compactas salvo biholomorfismo).

 Un ‘espacio de móduli’ es una variedad compleja (o variedad algebraica) cuyos puntos corresponden (de manera natural) a las clases de equivalencia de los objetos que queremos clasificar. Por tanto, si queremos construir un espacio de móduli precisaremos de los siguientes ingredientes:

  1. Objetos: ¿Qué objetos geométricos nos gustaría describir o parametrizar?
  2. Equivalencias ¿Cuándo podemos decir que dos objetos son el mismo?
  3. Familias: ¿Cómo permitimos a nuestros objetos variar o modular?

 Cabe observar que para identificar dos objetos en Matemáticas debemos usar relaciones de equivalencia y definir así un cociente, operación no inmediata en Geometría Algebraica pues algunas sutilezas deben tenerse en cuenta. Si estamos trabajando con objetos que poseen ciertas propiedades queremos que el cociente disfrute de las mismas. Sin embargo, esto no suele ocurrir pues es habitual que en el cociente no se puedan separar puntos mediante entornos abiertos (no sea Haussdorff).

 Para solucionar estos problemas David Mumford desarrolló la Teoría Geométrica de Invariantes (GIT en sus siglas en Inglés) que resolvía estas cuestiones y que le valió la Medalla Fields en 1974. Su idea fue eliminar aquellos objetos ‘malos’ que nos daban problemas y construir así un objeto geométrico razonable que será el espacio de móduli. Por ejemplo, el espacio de móduli de las curvas proyectivas complejas no singulares existe pero si queremos incluir las singulares (quizás sea interesante comprender cómo las curvas no singulares pueden degenerar a aquellas singulares) debemos dejarlas fuera (las llamaremos órbitas inestables) y obtener así una variedad algebraica y, por tanto, un espacio de móduli.

 Un ejemplo, por favor

 Supongamos que queremos describir la colección de todas las rectas en el plano $latex\mathbb{R}^{2}$ que pasan por el origen (en adelante, por brevedad, rectas). Para empezar, una buena idea es encontrar un número que parametrice los objetos que queremos clasificar. En nuestro caso, si utilizamos coordenadas cartesianas, utilizaremos como parámetro el ángulo $\theta$ que forma la recta con el eje OX en sentido antihorario y no es difícil convencerse de que 0\leq\theta<\pi. Por tanto, como \textbf{conjunto} tenemos una solución completa de nuestro problema de clasificación ya que a cada una de las rectas del plano le corresponde un número del intervalo [0,\pi).

 Sin embargo, no podemos olvidar que estamos buscando una solución \textbf{geométrica} a nuestro problema de clasificación. Para ello, si dos rectas están cerca, sus ángulos deberán ser casi iguales y, por tanto, los puntos correspondientes en el intervalo deberían estar muy próximos. En particular, aquellas rectas L cuyo ángulo está cercano a $latex\pi$ son casi horizontales y son muy parecidas a aquellas rectas cuyo ángulo con respecto al eje OX es casi cero. Por tanto, si queremos encontrar una solución geométrica a nuestro problema, debemos encontrar alguna forma de pegar el intervalo [0,\pi) para que \pi esté cerca de 0.

Una forma de hacer esto es tomar el intervalo cerrado [0,\pi] en vez de [0,\pi) y entonces identificar los puntos 0 y \pi. Esta operación de pegado se hace en Matemáticas mediante una relación de equivalencia. Luego, si \pi y 0 se pueden ver como el mismo punto, entonces los números cercanos a \pi estarán próximos a los cercanos a 0. De esta forma obtenemos un círculo que es la solución geométrica de nuestro problema.

 Interacción con la Física

El procedimiento descrito más arriba de estudiar los invariantes o la Geometría no del espacio original sino de un espacio de móduli construido a partir de él se interpretó más tarde como un tipo de Teoría Cuántica de Campos traduciéndose en una interacción fructífera entre la Física y la Geometría. Por ejemplo, la interacción con la Teoría de Cuerdas en Física ha sido especialmente productiva para la Geometría Algebraica pues esta teoría requiere geometrías complicadas de dimensiones altas y, de hecho, precisan de aquellos espacios (variedades de Calabi-Yau) que no se han podido tratar por medio de los invariantes clásicos.

Bibliografía:

BEN-ZVI, D.D., Moduli Spaces, Princeton Companion to Mathematics, 2008.

GARCÍA-PRADA, O. Moduli Spaces and Geometric Structures. Apéndice en Differential Analysis on Complex Manifolds, 1972.

KIRWAN, F. Moduli Saces in Algebraic Geometry. Moduli Spaces in Mathematics and Physics, Hindawi, 1998.

Fdo: David Fernández

 –Nota: Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas en su edición 3.1 organizado esta vez en este blog.


Saltamontes en los Pirineos o por qué un biólogo necesita las matemáticas

En esta entrada hacemos una breve revisión de un tema que nos parece muy interesante: el efecto que tiene la bacteria wolbachia en unas subespecies particulares de saltamontes, Chorthippus parallelus parallelus y Chorthippus parallelus erythropus. La distribución de estos animalejos se solapa en los Pirineos, donde forman una zona híbrida (ZH), es decir, una región donde individuos de las dos subespecies se encuentran, se cruzan y dan lugar a descendencia híbrida, en aquellos puntos en los que la orografía y sus requerimientos ecológicos lo permiten. Esta ZH responde a un contacto secundario entre poblaciones endémicas ibéricas (Cpe) y de la Europa continental (Cpp), que se expandieron después de la última glaciación desde aquellos refugios en los que habían divergido genéticamente en alopatría, esto es, especiación por aislamiento geográfico.

Las diferencias morfológicas, fisiológicas, genéticas y de comportamiento entre estas subespecies (y sus híbridos naturales y de laboratorio) han sido intensamente estudiadas en estos últimos años, por lo que esta ZH se considera un modelo singular en Biología Evolutiva (Bella et al., 2010). Estos estudios muestran un escenario complejo, con un número considerable de causas involucradas en el origen, estructura y mantenimiento de dicha ZH y ofrecen una muy buena panorámica de la evolución “en acción”. ¡Por esto es importante e interesante!

 Por otra parte, Wolbachia es una bacteria endosimbionte obligada (esto es, sin palabras de brujo, que vive exclusivamente en el interior de las células del insecto al que infecta) que induce alteraciones en la reproducción de diversos organismos, fundamentalmente artrópodos y nematodos. Esta bacteria induce, por ejemplo, feminización de los machos o incluso su muerte selectiva. También producen incompatibilidad citoplasmática que consiste en la incapacidad de un macho infectado de tener descendencia con una hembra que no esté infectada (Serbus et al., 2008). Esto condiciona los cruzamientos entre poblaciones infectadas en distintos grado por esta bacteria, lo que se ha planteado como un posible ejemplo de “especiación por infección” (Wade, 2001).

En estudios previos hemos profundizado en la Biología de este microrganismo y hemos comprobado que en la ZH de Chorthippus genera una barrera reproductiva considerable (Zabal-aguirre et al., 2010; Bella et al., 2010), lo que apunta a que, efectivamente, esta bacteria puede promover fenómenos de especiación.

Debido a su peculiar forma de transmisión, de madres a hijos, la dinámica de la infección por Wolbachia es compleja. A su vez la forma por la cual la infección pueda condicionar los cruzamientos que se producen en una población y sus repercusiones a largo plazo son dificiles de estudiar en el laboratorio. Más aun en condiciones naturales. Es por esto. que la infección por Wolbachia ha sido modelizada matemáticamente (¡aquí aparece la caballería!) con el fin de conocer hasta qué punto esta bacteria influye en las poblaciones a las que infecta (Turelli et al., 1994; Telschow et al., 2005; 2007; Vautrin et al., 2007). 

Bien, hasta aquí el tema y la historia que hay detrás, pero ¿qué hemos hecho nosotros? Pues hemos continuando con los estudios de Vautrin et al. (2007),  implementando una variante de este modelo para analizar (i) cómo podría evolucionar la infección por Wolbachia en una población modelo de Chorthippus parallelus y por otra parte (ii) cómo influirían algunas variables ambientales, por ejemplo la temperatura, en la dinámica de la infección. Nuestro modelo sigue el siguiente esquema 

Como nos está quedando un poco largo ya, vamos a concluir con la referencia del trabajo por si alguien está interesado en abundar más:

Wolbachia infection in Chorthippus parallelus: Intra-generational frequency variation, P. Martínez-Rodríguez, R. Granero-Belinchón, F Arroyo-Yebras y J.L. Bella. (aquí hay un poster sobre este tema).

Referencias:

  1. Bella JL, Martínez-Rodríguez P, Arroyo-Yebras F, Bernal A, Sarasa J, Fernández-Calvín B, Mason PL & Zabal-Aguirre M. 2010. Wolbachia infection in the Chorthippus parallelus hybrid zone: evidence for its role as a reproductive barrier. Journal of Orthoptera Research 19 (2): 205-212
  2. Hewitt G. 2000. The genetic legacy of the Quaternary ice ages. Nature 405, 907-913.
  3. Serbus LR, Casper-Lindley C, Landmann F, Sullivan, W. 2008. The genetics and cell biology of Wolbachia-host interactions. Annu Rev Genet 42: 683-707. 
  4. Telschow A, Flor M, Kobayashi Y, Hammerstein P, Werren JH. 2007. Wolbachia-induced unidirectional cytoplasmic incompatibility and speciation: mainland-island model. PLoS ONE Aug 8; 2(1):e701.
  5. Telschow A, Hammerstein P, Werren JH. 2005. The effects of Wolbachiaversus genetic incompatibilities on reinforcement and speciation. Evolution 59: 1607-1619.
  6. Vautrin E, Charles S, Genieys S, Vavre F. 2007. Evolution and invasion dynamics of multiple infections with Wolbachiainvestigated using matrix based models. J Theor Biol. 245(2):197-209.
  7. Wade MJ. 2001. Infectious speciation. Nature, 409: 675-677.
  8. Zabal-Aguirre M, Arroyo F & Bella JL. 2010. Distribution of Wolbachia infection of Chorthippus parallelus in populations within and beyond a Pyrenean hybrid zone. Heredity 104: 174–184.

–Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Biología en su décima edición organizado por Scientia y en el de Matemáticas, que organizamos nosotros.


¿Existe Dios? por Rolby Milián

Kurt Gödel fue uno de los más grandes lógicos
de todos los tiempos. Ocupa, junto a Bertrand Russell, la más alta
posición del siglo XX en cuestiones de fundamentos o filosofía
de las Matemáticas.

En 1930 entró a formar parte del cuerpo docente de la
Universidad de Viena. Por su condición de judío se vio obligado
a abandonar la ciudad durante la ocupación alemana de Austria y a
emigrar a Estados Unidos, donde pasó a ocupar una plaza de
profesor en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton,
institución que ya había visitado con anterioridad.

En 1931 publicó el artículo “Sobre proposiciones
formalmente indecidibles del Principia Mathematica y sistemas
relacionados”, en el que propuso sus dos teoremas de la
incompletitud, el primero establece que ninguna teoría finitamente
axiomatizable y capaz de derivar los postulados de Peano (esto es,
abarcar un nivel mínimo de complejidad) es a la vez consistente y
completa.

En otras palabras, si se intenta elaborar una teoría
fundacional de las matemáticas que establezca los axiomas y las
reglas de inferencia asociadas a los mismos, de modo que sea posible
estipular con precisión qué es y qué no es un axioma, la
teoría resultante será bien insuficiente (no permitirá derivar
los postulados de Peano), incompleta (existirá al menos una
proposición matemáticamente válida que no será derivable de
la teoría) o inconsistente.

El segundo teorema de la incompletitud, corolario del
primero, afirma que si una teoría es finitamente axiomatizable,
consistente y capaz de derivar los postulados de Peano, entonces
dicha teoría no puede probar su propia consistencia. Mediante la
demostración de las imperfecciones del sistema axiomático como
herramienta, heredada de los antiguos griegos, para la elaboración
de teorías complejas, completas y consistentes, la obra de
Gödel echó definitivamente por tierra las empresas
formalistas (Hilbert) y logicistas (Russell y Whitehead) y, en
definitiva, más de un siglo de intentos de desarrollar una
fundamentación de las matemáticas basada en dichos
instrumentos.

Básicamente: deben existir fórmulas verdaderas en las
matemáticas y en la lógica para las cuales no es posible
demostrar su verdad ni su falsedad, siendo de este modo las
matemáticas un sistema incompleto.

Llegó a ser un gran amigo de Einstein, y trabajaron
juntos los aspectos filosóficos y matemáticos de la Teoría
General de la Relatividad. Gödel incluso trabajó con
éxito en las ecuaciones del campo gravitatorio, encontrando
soluciones sorprendentes. También dedicó gran parte de su tiempo
al estudio del concepto de tiempo, publicando varios artículos y
dando varias conferencias sobre el tema.

Bueno, pues resulta que a este señor se le
ocurrió además probar la existencia de Dios…si, así como lo
leen; y con semejante palmarés, se cuida uno de dudar así como
así…¿o no?.

Esta es, en términos no formales, su demostración:

Axioma 1. (Dicotomía) Una propiedad es positiva si, y sólo si, su negación es
negativa.

Axioma 2. (Cierre) Una propiedad es positiva si contiene necesariamente una propiedad
positiva.

Teorema 1. Una propiedad positiva es lógicamente consistente (por ejemplo, existe algún caso
particular).

Definición. Algo es semejante a Dios si, y solamente si, posee todas las propiedades
positivas.

Axioma 3. Ser semejante a Dios es una propiedad
positiva.

Axioma 4. Ser una propiedad positiva (lógica, por consiguiente) es ser
necesaria.

Definición. Una propiedad P es la esencia de x si, y sólo si, x contiene a P y P es necesariamente mínima.

Teorema 2. Si x es semejante a Dios, entonces ser semejante a Dios es la esencia de
x.

Definición. NE(x)x existe necesariamente si tiene una propiedad
esencial.

Axioma 5. Ser NE es ser semejante a Dios.

Teorema 3. Existe necesariamente alguna x tal que x es
semejante a Dios.

El argumento se basa en las reflexiones de San Anselmo.
Este define a Dios como el ser más grande en el universo. Nada hay
más que se pueda imaginar. Por el contrario, si Dios no existiera,
entonces un ser superior de alguna forma tiene que existir, las
cosas no se crearon de la nada hace millones de años. Como
no fue posible explicar eso, entonces por definición, Dios tuvo
que existir. Solo que no es el Dios que todos tenemos en mente, solo
la energía pura que nos rodea.

¿Cómo se puede enjuiciar una demostración tan
abstracta? Muchos lógico-matemáticos no han sido capaces de
explicar todos los aspectos de la prueba, y por lo tanto es muy
difícil asegurar su completa naturaleza. Cabe entonces
preguntarse: ¿Es esta demostración el resultado de una
meditación profunda, o es el desvarío de un lunático?
(Gödel en la parte final de su vida sufrió importantes
trastornos mentales). En cualquier caso, quizás cuestionarse la
existencia de El, de modo que nos lleve más allá del mero
ejercicio intelectual, podría resultar peligroso…quizás no nos
esté permitido acercarnos demasiado a la verdad.

FDO: Rolby Milián

–Nota: Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas en su edición 3.1, organizado esta vez por este mismo blog.

Las matemáticas como ciencia experimental

Actualmente cuando uno piensa en problemas sin resolver en física piensa en la Teoría del Todo, en el bosón de Higgs o en los límites de validez de la mecánica cuántica. Sin embargo, existen problemas que son fáciles de entender que aún no tienen respuesta. Problemas que sólo involucran a la mecánica de Newton y que todavía no sabemos cómo atacar. Vamos a introducir el que nos ocupa con un experimento que puede ser fácilmente realizado en casa. Continue reading

¿Qué hizo Jacob Bernoulli con el problema de Basilea?

A lo largo de la historia de las Matemáticas ha habido problemas famosos. Muchas veces estos problemas pertenecen al área de la Teoría de Números y algunos hasta se pueden explicar claramente sin el uso de tecnicismos. En este caso vamos a considerar el problema de sumar infinitos términos. Esto en matemáticas es lo que se denomina una serie. Esta entrada es la primera que escribimos sobre el problema de Basilea pero no será la última (también recomendamos la lectura de las entradas de Gaussianos aquíaquí). En este escrito vamos a tratar de explicar rápidamente los avances en este problema que hizo Jacob Bernoulli. Éste problema, que debe su nombre a la ciudad natal de Euler (1707–1783) y la familia Bernoulli, consiste en hallar la suma de

\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\quad (1)

Está claro que siendo un problema conocido en la época de Euler éste tenía que trabajar en el. Sin embargo, dejaremos sus trabajos en esta serie para futuras entradas del blog.

Este problema aparece por primera vez en Novae quadraturae arithmeticae, libro escrito en 1650 por Pietro Mengoli (1625–1686), que fue alumno de Cavalieri (1598–1647) y profesor de la Universidad de Bolonia. Próximamente tendremos que escribir una entrada sobre los trabajos en series de Mengoli.

Desde que se propuso el problema hasta la aparición de Jacob Bernoulli el único avance es la obtención de nueva aproximaciones al valor final (que en esa época ni siquiera se sabia si existía). Esto no es un tema baladí porque esta serie tiene un convergencia muy lenta porque sus términos no decaen excesivamente rápido.

Lo primero que hizo Jacob fue probar que efectivamente la serie sumaba un valor finito. Esto, que puede parecer obvio no lo es en absoluto, pues hay series, las llamadas divergentes, cuya suma es infinito (es decir, la suma diverge). ¿Cómo lo hizo? Pues acotó (1) por algo que él sabía sumar y por lo tanto probó que la suma debía ser un número finito. En concreto el escribió

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}<2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 + n}=2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=2

Además, como todas las series

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k},\quad (2)

con k\ge 2 cumplen

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k}<\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}<2,

se obtiene que todas estas series convergen.

El segundo es que para una serie del tipo más general (2), la suma de (sólo) sus términos impares es

\displaystyle\frac{2^k-1}{2^k}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k}

Para probar esta última afirmación basta multiplicar toda la serie (2) por 2^{-k}, con lo que la serie que conseguimos es la de los términos pares, y ahora restar esta serie de la original.

Así tras su trabajo se sabía que efectivamente podían tratar de sumar la serie porque el valor era finito y que además podían considerar también el problema de la serie generalizada (2). En la próxima entrada veremos cómo Euler consigue una serie cuya suma es la misma que la suma de (1) pero con una convergencia mucho más rápida, de manera que hacer aproximaciones a la suma total dejó de ser un tema laborioso.

Esto de las series es un tema entretenido, así que para no abusar y disfrutar sólo nosotros, os dejamos un problemita muy sencillo:

¡Ejercitando las neuronas!

¿Sabríais demostrar que la serie \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} converge? ¿Sabríais calcular su valor? ¿y la serie \sum_{n=0}^\infty (-1)^n? Y por último ¿podríais decir si la serie \sum_{n=0}^\infty \frac{n}{2^n} converge?

Tal y como dijimos en el resumen que sacamos ayer estábamos preparando, como segunda aportación al Carnaval de Matemáticas en su edición 3.1, una entrada sobre el problema de Basilea.

–Nota: El texto anterior está basado en el artículo

Rafael Granero Belinchón, El problema de Basilea: Historia y algunas demostraciones. La Gaceta de la RSME, vol 12, num 4, pag 721-737, 2009.

Resumen del Carnaval de Matemáticas Edición 3.1

En esta entrada vamos a ir recopilando las entradas que han participado en el Carnaval de Matemáticas de Febrero.

Empezamos con las que aparecieron antes de tiempo:

Fuera de plazo (pero igualmente interesantes) :-):

  • Byron nos presenta un cuento a la usanza de las mil y una noches donde el protagonista ha de resolver un acertijo.
  • Desde el blog El tao de la física nos dejan un curioso experimento donde consiguen hacer circular un triciclo de ruedas cuadradas. No os perdáis cómo se consigue usando un poco de geometría diferencial.
  • En el blog Desafíos Matemáticos nos dejan varios ejemplos de dónde se usa el hiperboloide en la construcción.
  • Nuestro amigo José Manuel en su blog Morvalets nos explica cómo las matemáticas son fundamentales en el tratamiento de imágenes. Por cierto ¿sabéis qué significa la fecha del subtítulo del blog “Localizando en tiempo y frecuencia desde 1642“?
  • El blog Scientia (casi tocayo nuestro :-)) nos deja un post sobre matemáticas y química.

Lunes 20 de Febrero:

  1. Desde el blog Sentido de la Maravilla nos hablan de las máquinas de Turing y de la obra del escritor Neal Stephenson (¡en algunas de sus obras llega a salir Newton!).
  2. Desde el departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la Universidad del País Vasco nos hablan de poesía y matemáticas.
  3. En Hoja y Números nos hablan de la función primorial, es decir, el producto de los primos menores que una cierta cantidad. Casualmente nuestra propia entrada trata de los números primos :-).
  4. Belén Palop en su blog “Reflexiones sobre la educación” nos explica cómo aparece la estadística (al trata con percentiles) en la pediatría.
  5. En Destejiendo el mundo nos explican cómo es posible que los mismos datos estadísticos apoyen tesis distintas haciendo unos ligeros cambios tan sólo.
  6. En Animando la Web nos explican cómo operaban los egipcios sin usar tablas de multiplicar.
  7. En Los matemáticos no son gente seria nos dan su opinión sobre el difícil tema de la enseñanza de las matemáticas a todos los niveles. Es este tema uno bien peliagudo y casi cualquier cosa que se diga sera inexacta en cuanto que al tratarse de un problema tan distinto según el nivel educativo nadie (al menos que yo conozca) tiene experiencia a todos los niveles. Ya puestos hasta voy a dejar una referencia y quizá escriba una entrada con mi opinión personal.
  8. Nosotros participamos con una entrada donde comentamos una nueva prueba de la infinitud de los números primos.
  9. En Números y algo más nos dejan como curiosidad cómo conseguir ecuaciones multigrado. Realmente sorprendente.
  10. Tito Eliatron nos recuerda la conocida anécdota de Bertrand Russel en el papel del Papa :-).
  11. En Espejo Lúdico nos proponen un acertijo basado en uno previo del conocido Sam Loyd.
  12. Desde Gaussianos nos dejan un entrada donde hablan de la serie armónica y su carácter divergente. También sale como estrella invitada la serie de los inversos de los cuadrados, es decir, el Problema de Basilea. Resulta que ahora mismo estamos escribiendo una entrada sobre el Problema de Basilea, con suerte estará para mañana totalmente acabada, y es que vamos a iniciar en este blog una serie de entradas dedicadas a ese tema (igual que ya hicimos con las Paradojas).

Martes 21 de Febrero:

  1. Rafalillo desde su blog nos deja una entrada donde explica el origen de la numeración.
  2. El departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias del País Vasco nos deja la observación de que la fecha de hoy es un palíndromo.
  3. ¡En Gaussianos nos dejan un reto! Un problema de cálculo de probabilidades muy interesante.
  4. Nuestra aportación sobre el problema de Basilea. Ésta es la primera de una serie de entradas.
  5. Desde Boadilla del Monte nos dejan una entrada sobre el interesante número de plástico, pariente del número áureo.
  6. Como ayer nos dejaron con ganas, hoy en Animando la Web nos traen la segunda entrada sobre la aritmética de los egipcios.

Miércoles 22 de Febrero:

  1. La tercera contribución de la Universidad del País Vasco. En ésta nos hablan de un concurso de encuadernado de libros donde ganó Jana Sim con una obra basada en la banda de Moëbius.
  2. Un divertido tres en raya que nos viene de parte de Tito Eliatron. Ésta faltaba del Martes… Se nos pasó.
  3. Gaussianos nos deja una entrada sobre cómo pintar caras sonrientes :-).
  4. Nuestra tercera aportación os cuenta ¡cómo experimentar un teorema!
  5. La última entrada es de Tito Eliatron y nos habla de los números trascendentes y su historia.
Jueves 23 de Febrero:
  1. Rolby Milián (ICMAT), como estrella invitada en este blog, participa en el carnaval con una entrada sobre Kurt Gödel.
  2. Gaussianos nos deja una entrada con una anécdota interesante de Kepler y Galileo.
  3. Desde Geometría Dinámica nos traen una entrada sobre geometría y su lenguaje.
  4. Juan de Mairena nos habla de Nahs y de sus cartas recientemente desclasificadas.
  5. En el Neutrino nos hablan de Julio Rey Pastor en el aniversario de su muerte.
  6. Desde la Universidad del País Vasco nos hablan de cómo recuerdan en Nature a Alan Turing.
  7. Nuestra aportación de hoy trata sobre un problema de Biología y cómo se usan las matemáticas para tratarlo.
  8. José Luis Rodríguez nos deja una entrada sobre poliedros y mosaicos.

Viernes 24 de Febrero:

  1. Luis, desde Imperio de la Ciencia, nos escribe sobre la magia del número i.
  2. Gaussianos vuelve a contribuir, esta vez con la solución al problema de los cien presos.
  3. Dr. Litos nos escribe en términos generales sobre la importancia de la estadística para no caer en el anumerismo o en engañifas.
  4. Además, acogemos a David Fernández (ICMAT) al publicar una entrada sobre los espacios de Móduli
  5. Siendo ésta su quinta aportación, la Universidad del Pais Vasco nos trae una entrada que mezcla moda y matemáticas.
  6. Tito Eliatrón nos deja una entrada sobre estadística y afirmaciones un “poco” exageradas.
  7. Imperio de la Ciencia nos deja una entrada sobre el número i y los complejos.
  8. El blog Experiencia docet nos deja una entrada sobre cuantización y matemáticas.

Sábado 25 de Febrero:

  1. ZTF nos deja una nueva contribución. Ésta trata sobre un artista gráfico que trata de plasmar la aritmética más básica en su obra.
  2. Guassianos nos deja una entrada sobre la conjetura de Goldbach y la calidad de la educación.
  3. Desde pimedios nos llega una entrada dedicada al producto de Wallis.

Domingo 26 de Febrero:

  1. ZTFNews nos deja una entrada sobre el proyecto Tsunagari.
  2. Zurditorium nos deja una entrada donde ilustra posibles errores al simplificar en una expresión.
  3. El blog Series Divergentes nos deja una entrada sobre el Teorema de Bolzano-Weierstrass.
  4. La mula Francis nos deja una entrada sobre playas su aportación a las matemáticas.
  5. El mundo de las ideas nos deja un post sobre las matemáticas de los cristales.

Y con esto y un bizcocho… hemos acabado con esta edición. Próximamente las votaciones. Os dejo este video para amenizaros un ratillo:

PD: Si alguien nota que falta, por favor que nos avise.

La infinitud de los primos

Siendo esta semana el Carnaval de Matemáticas en este mismo blog, está claro que el título de la entrada no se refiere a familias grandes. Hablamos de esos curiosos números que sólo son divisibles por ellos mismos y por la unidad, los números primos.

Mucha gente conoce los siguientes resultados:

Teorema: Todo número es primo o producto o primos.

Teorema: Hay infinitos números primos.

 

El primero se conoce como Teorema Fundamental de la Aritmética o de la Factorización Única. En esta entrada trataremos el segundo.

Una prueba de que hay infinitos primos, quizá la más conocida, es muy sencilla. Es el ejemplo arquetípico de prueba por reducción al absurdo: Supongamos que existe un número finito de primosp_i, i = 1\cdots k y definamos n=p_1p_2p_3\cdots p_k=\Pi_{i=1}^k p_i. Consideremos ahora n+1. Si n+1 no es primo, entonces es divisible por algún primo p. Se tiene que p no está en nuestra lista, porque si p=p_j para cierto j, como p_j divide a n se tiene que p_j | n+1-n de donde concluimos que p_j=1 y por lo tanto nuestra lista está incompleta.

Nada nuevo bajo el sol hasta aquí. Pero resulta que el día 16 de Febrero de este año, es decir, el Jueves pasado publicaron en el servidor de preprints Arxiv una nueva prueba (hay multitud de ellas). Además de nueva es sencilla, así que se me ocurrió contarla aquí. La prueba se debe a Romeo Mestrovic. Veamos cómo es: sabemos que 2 es primo y que 3 también lo es, por lo tanto, gracias al Teorema de Factorización Única, se tiene

\displaystyle n-1 =p_{1}^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}\geq 5.

Ahora bien: podemos escribir

\displaystyle n-1 =p_{1}^{s-(s-e_1)}p_2^{s-(s-e_2)}\cdots p_k^{s-(s-e_k)}=\frac{n^s}{a},

con a=p_{1}^{(s-e_1)}p_2^{(s-e_2)}\cdots p_k^{(s-e_k)} y s=\max_i\{ e_i\}.

Tenemos entonces a=\frac{n^s}{n-1}=\frac{n^s-1}{n-1}+\frac{1}{n-1} y por lo tanto \frac{1}{n-1} debe ser un número entero, pero n-1\geq 5, y hemos llegado a contradicción.

–Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas que organizamos nosotros :-).

–Referencia: Romeo Mestrović, EUCLID’S THEOREM ON THE INFINITUDE OF PRIMES: A HISTORICAL SURVEY OF ITS PROOFS (300 B.C.–2012) AND ANOTHER NEW PROOF, Arxiv preprint.

“¿A qué me dedico?” – Ordenes cero y primero

Como estudiante de doctorado, es una pregunta que me han hecho mil y una veces. Voy a tomar la solución a esta respuesta al estilo “físico teórico”:

Orden cero:

Las respuestas más comúnes que obtengo cuando le digo a la gente que soy físico son:

“¡Hala!”

“¡Uff, qué difícil!”.

Podría decirse que esa respuesta es invariante.

Mi réplica suele ser casi siempre la misma:

“En realidad, no es tan complicado: como en casi todo, lo más importante es la dedicación y la motivación. Por ejemplo, yo no podría ser abogado, pues require habilidades que no poseo.”

Y, si mi interlocutor no está más interesado en la ciencia porque no lo considere cultura (a pesar de lo que el Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española tenga que decir al respecto), el tema se acaba ahí.

Si tuviese que contar las veces que doy esta respuesta, diría que, aproximadamente, sirve el 50% de las veces.

 

Primer orden:

Supongamos que tenemos a alguien enfrente con algo más de interés:

“Y ¿qué estudias?”

A menos que sepa que la persona con la que estoy hablando tiene un cierto bagaje científico, suelo sacar, de modo tímido, las siguientes palabras de mi boca:

“¿Conoces la mecánica cuántica?”

La palabra “cuántico” se repite habitualmente en los programas de divulgación, de modo que casi todo el mundo “sabe” que tiene que ver con las cosas MUY pequeñas (aunque cada vez más grandes).

Cuando observamos las cosas a escalas macroscópicas (como, por ejemplo, milimetros, centímetros, metros, y mayores), tenemos la sensación de que todo es contínuo, sin saltos. Sin embargo, cuando miramos las cosas más de cerca, como haciendo “zoom” a los detalles más pequeños, las cosas comienzan a verse como hechas a base de “trozos” o “pedazos” más pequeños, llamados “cuantos”.

Si nos acercamos a las figuras de la izquierda, por mucho que nos acerquemos, nos pareceran "solidas". Algo discreto carece de esa "solidez", y se asemeja a una montaña de arena: desde lejos parece sólida, pero cuando te acercas ves que está formada a base de granitos.

Con la palabra “cuanto” no me refiero a las piezas que, al unirse, forman máquinas más complejas: si nos acercásemos a cada una de esas piezas, nos parecería como si fuesen totalmente solidas y contínuas. Sin embargo, si seguimos acercándonos, podemos ver como esa solidez es totalmente artificial, pues la materia está formada por moléculas, átomos y otras partículas indivisibles. Si estirásemos un poco la analogía, podríamos suponer que esa materia “sólida” o “contínua” es como un cuadro puntillista: de cerca se observa que el cuadro está pintado a base de pinceladas puntuales de diversos colores pero, al alejarse, uno puede ver como los colores se van fundiendo, degradados apareciendo, y el conjunto del cuadro sale a la vista como si hubiese sido pintado con trazos contínuos.

Pero, volviendo a la cuestión que nos atañe, una vez que me aseguro de que la persona sabe a lo que me refiero, continúo con lo siguiente:

“Mi campo es la óptica cuántica: si la óptica se encarga de estudiar los fenómenos de la luz, en vez de imaginar la luz como una sustancia continua de la que podemos obtener una cantidad arbitrariamente pequeña, nosotros la consideramos compuesta de pequeños trozos o cuantos de luz llamados fotones.

Además, también estudiamos las interacciones de la luz con los cuantos de materia. En mi caso, con los átomos.”

Y, hasta aquí, me parece una respuesta que atañe al 90% de mis interacciones.

Podría continuar con el segundo orden, con mayor precisión y contenido en detalles, pero esa es otra historia y deberá ser contada en otro momento (Aunque puedo adelantar que aparecen láseres)

 

Anuncio del Carnaval de Matemáticas de Febrero

En Scientia Potentia Est tenemos la suerte de albergar el Carnaval de Matemáticas de este mes de Febrero. Es la edición 3.1, así que estamos de cumpleaños. Esperamos que nos ayudéis a celebrar este cumpleaños con vuestras entradas.

El Carnaval tendrá lugar la semana del 20 al 26 de Febrero y un par de días después colgaremos un resumen de manera que tengáis todas las entradas juntitas para poder votar la que más os guste. Os recordamos cómo participar:

  • Primero escribes una entrada que tenga relación con las matemáticas en tu blog. Si no tienes blog puedes publicarlas en la web del Carnaval o, si nos la envías a “scientiapotentiaest (arroba) ambages (punto) es”, la podemos colgar en este blog. En tu entrada, y se publique donde se publique, has de indicar que participas en el Carnaval de Matemáticas y poner un enlace a la web del Carnaval y al blog que lo albergue, en este caso, el nuestro.
  • Ahora sólo queda decirnos a nosotros que habéis participado. Para eso os pedimos que nos mandéis un email a ”scientiapotentiaest (arroba) ambages (punto) es” con el enlace a la entrada. Y, además del email, podéis colgar dicho enlace en la página de facebook del Carnaval o en los comentarios de esta entrada.

Esperamos que todos os animéis a escribir entradas tan interesantes como las de las ediciones pasadas.