Saltamontes en los Pirineos o por qué un biólogo necesita las matemáticas

En esta entrada hacemos una breve revisión de un tema que nos parece muy interesante: el efecto que tiene la bacteria wolbachia en unas subespecies particulares de saltamontes, Chorthippus parallelus parallelus y Chorthippus parallelus erythropus. La distribución de estos animalejos se solapa en los Pirineos, donde forman una zona híbrida (ZH), es decir, una región donde individuos de las dos subespecies se encuentran, se cruzan y dan lugar a descendencia híbrida, en aquellos puntos en los que la orografía y sus requerimientos ecológicos lo permiten. Esta ZH responde a un contacto secundario entre poblaciones endémicas ibéricas (Cpe) y de la Europa continental (Cpp), que se expandieron después de la última glaciación desde aquellos refugios en los que habían divergido genéticamente en alopatría, esto es, especiación por aislamiento geográfico.

Las diferencias morfológicas, fisiológicas, genéticas y de comportamiento entre estas subespecies (y sus híbridos naturales y de laboratorio) han sido intensamente estudiadas en estos últimos años, por lo que esta ZH se considera un modelo singular en Biología Evolutiva (Bella et al., 2010). Estos estudios muestran un escenario complejo, con un número considerable de causas involucradas en el origen, estructura y mantenimiento de dicha ZH y ofrecen una muy buena panorámica de la evolución “en acción”. ¡Por esto es importante e interesante!

 Por otra parte, Wolbachia es una bacteria endosimbionte obligada (esto es, sin palabras de brujo, que vive exclusivamente en el interior de las células del insecto al que infecta) que induce alteraciones en la reproducción de diversos organismos, fundamentalmente artrópodos y nematodos. Esta bacteria induce, por ejemplo, feminización de los machos o incluso su muerte selectiva. También producen incompatibilidad citoplasmática que consiste en la incapacidad de un macho infectado de tener descendencia con una hembra que no esté infectada (Serbus et al., 2008). Esto condiciona los cruzamientos entre poblaciones infectadas en distintos grado por esta bacteria, lo que se ha planteado como un posible ejemplo de “especiación por infección” (Wade, 2001).

En estudios previos hemos profundizado en la Biología de este microrganismo y hemos comprobado que en la ZH de Chorthippus genera una barrera reproductiva considerable (Zabal-aguirre et al., 2010; Bella et al., 2010), lo que apunta a que, efectivamente, esta bacteria puede promover fenómenos de especiación.

Debido a su peculiar forma de transmisión, de madres a hijos, la dinámica de la infección por Wolbachia es compleja. A su vez la forma por la cual la infección pueda condicionar los cruzamientos que se producen en una población y sus repercusiones a largo plazo son dificiles de estudiar en el laboratorio. Más aun en condiciones naturales. Es por esto. que la infección por Wolbachia ha sido modelizada matemáticamente (¡aquí aparece la caballería!) con el fin de conocer hasta qué punto esta bacteria influye en las poblaciones a las que infecta (Turelli et al., 1994; Telschow et al., 2005; 2007; Vautrin et al., 2007). 

Bien, hasta aquí el tema y la historia que hay detrás, pero ¿qué hemos hecho nosotros? Pues hemos continuando con los estudios de Vautrin et al. (2007),  implementando una variante de este modelo para analizar (i) cómo podría evolucionar la infección por Wolbachia en una población modelo de Chorthippus parallelus y por otra parte (ii) cómo influirían algunas variables ambientales, por ejemplo la temperatura, en la dinámica de la infección. Nuestro modelo sigue el siguiente esquema 

Como nos está quedando un poco largo ya, vamos a concluir con la referencia del trabajo por si alguien está interesado en abundar más:

Wolbachia infection in Chorthippus parallelus: Intra-generational frequency variation, P. Martínez-Rodríguez, R. Granero-Belinchón, F Arroyo-Yebras y J.L. Bella. (aquí hay un poster sobre este tema).

Referencias:

  1. Bella JL, Martínez-Rodríguez P, Arroyo-Yebras F, Bernal A, Sarasa J, Fernández-Calvín B, Mason PL & Zabal-Aguirre M. 2010. Wolbachia infection in the Chorthippus parallelus hybrid zone: evidence for its role as a reproductive barrier. Journal of Orthoptera Research 19 (2): 205-212
  2. Hewitt G. 2000. The genetic legacy of the Quaternary ice ages. Nature 405, 907-913.
  3. Serbus LR, Casper-Lindley C, Landmann F, Sullivan, W. 2008. The genetics and cell biology of Wolbachia-host interactions. Annu Rev Genet 42: 683-707. 
  4. Telschow A, Flor M, Kobayashi Y, Hammerstein P, Werren JH. 2007. Wolbachia-induced unidirectional cytoplasmic incompatibility and speciation: mainland-island model. PLoS ONE Aug 8; 2(1):e701.
  5. Telschow A, Hammerstein P, Werren JH. 2005. The effects of Wolbachiaversus genetic incompatibilities on reinforcement and speciation. Evolution 59: 1607-1619.
  6. Vautrin E, Charles S, Genieys S, Vavre F. 2007. Evolution and invasion dynamics of multiple infections with Wolbachiainvestigated using matrix based models. J Theor Biol. 245(2):197-209.
  7. Wade MJ. 2001. Infectious speciation. Nature, 409: 675-677.
  8. Zabal-Aguirre M, Arroyo F & Bella JL. 2010. Distribution of Wolbachia infection of Chorthippus parallelus in populations within and beyond a Pyrenean hybrid zone. Heredity 104: 174–184.

–Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Biología en su décima edición organizado por Scientia y en el de Matemáticas, que organizamos nosotros.


¿Existe Dios? por Rolby Milián

Kurt Gödel fue uno de los más grandes lógicos
de todos los tiempos. Ocupa, junto a Bertrand Russell, la más alta
posición del siglo XX en cuestiones de fundamentos o filosofía
de las Matemáticas.

En 1930 entró a formar parte del cuerpo docente de la
Universidad de Viena. Por su condición de judío se vio obligado
a abandonar la ciudad durante la ocupación alemana de Austria y a
emigrar a Estados Unidos, donde pasó a ocupar una plaza de
profesor en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton,
institución que ya había visitado con anterioridad.

En 1931 publicó el artículo “Sobre proposiciones
formalmente indecidibles del Principia Mathematica y sistemas
relacionados”, en el que propuso sus dos teoremas de la
incompletitud, el primero establece que ninguna teoría finitamente
axiomatizable y capaz de derivar los postulados de Peano (esto es,
abarcar un nivel mínimo de complejidad) es a la vez consistente y
completa.

En otras palabras, si se intenta elaborar una teoría
fundacional de las matemáticas que establezca los axiomas y las
reglas de inferencia asociadas a los mismos, de modo que sea posible
estipular con precisión qué es y qué no es un axioma, la
teoría resultante será bien insuficiente (no permitirá derivar
los postulados de Peano), incompleta (existirá al menos una
proposición matemáticamente válida que no será derivable de
la teoría) o inconsistente.

El segundo teorema de la incompletitud, corolario del
primero, afirma que si una teoría es finitamente axiomatizable,
consistente y capaz de derivar los postulados de Peano, entonces
dicha teoría no puede probar su propia consistencia. Mediante la
demostración de las imperfecciones del sistema axiomático como
herramienta, heredada de los antiguos griegos, para la elaboración
de teorías complejas, completas y consistentes, la obra de
Gödel echó definitivamente por tierra las empresas
formalistas (Hilbert) y logicistas (Russell y Whitehead) y, en
definitiva, más de un siglo de intentos de desarrollar una
fundamentación de las matemáticas basada en dichos
instrumentos.

Básicamente: deben existir fórmulas verdaderas en las
matemáticas y en la lógica para las cuales no es posible
demostrar su verdad ni su falsedad, siendo de este modo las
matemáticas un sistema incompleto.

Llegó a ser un gran amigo de Einstein, y trabajaron
juntos los aspectos filosóficos y matemáticos de la Teoría
General de la Relatividad. Gödel incluso trabajó con
éxito en las ecuaciones del campo gravitatorio, encontrando
soluciones sorprendentes. También dedicó gran parte de su tiempo
al estudio del concepto de tiempo, publicando varios artículos y
dando varias conferencias sobre el tema.

Bueno, pues resulta que a este señor se le
ocurrió además probar la existencia de Dios…si, así como lo
leen; y con semejante palmarés, se cuida uno de dudar así como
así…¿o no?.

Esta es, en términos no formales, su demostración:

Axioma 1. (Dicotomía) Una propiedad es positiva si, y sólo si, su negación es
negativa.

Axioma 2. (Cierre) Una propiedad es positiva si contiene necesariamente una propiedad
positiva.

Teorema 1. Una propiedad positiva es lógicamente consistente (por ejemplo, existe algún caso
particular).

Definición. Algo es semejante a Dios si, y solamente si, posee todas las propiedades
positivas.

Axioma 3. Ser semejante a Dios es una propiedad
positiva.

Axioma 4. Ser una propiedad positiva (lógica, por consiguiente) es ser
necesaria.

Definición. Una propiedad P es la esencia de x si, y sólo si, x contiene a P y P es necesariamente mínima.

Teorema 2. Si x es semejante a Dios, entonces ser semejante a Dios es la esencia de
x.

Definición. NE(x)x existe necesariamente si tiene una propiedad
esencial.

Axioma 5. Ser NE es ser semejante a Dios.

Teorema 3. Existe necesariamente alguna x tal que x es
semejante a Dios.

El argumento se basa en las reflexiones de San Anselmo.
Este define a Dios como el ser más grande en el universo. Nada hay
más que se pueda imaginar. Por el contrario, si Dios no existiera,
entonces un ser superior de alguna forma tiene que existir, las
cosas no se crearon de la nada hace millones de años. Como
no fue posible explicar eso, entonces por definición, Dios tuvo
que existir. Solo que no es el Dios que todos tenemos en mente, solo
la energía pura que nos rodea.

¿Cómo se puede enjuiciar una demostración tan
abstracta? Muchos lógico-matemáticos no han sido capaces de
explicar todos los aspectos de la prueba, y por lo tanto es muy
difícil asegurar su completa naturaleza. Cabe entonces
preguntarse: ¿Es esta demostración el resultado de una
meditación profunda, o es el desvarío de un lunático?
(Gödel en la parte final de su vida sufrió importantes
trastornos mentales). En cualquier caso, quizás cuestionarse la
existencia de El, de modo que nos lleve más allá del mero
ejercicio intelectual, podría resultar peligroso…quizás no nos
esté permitido acercarnos demasiado a la verdad.

FDO: Rolby Milián

–Nota: Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas en su edición 3.1, organizado esta vez por este mismo blog.