La importancia del orden

No nos referimos al (des)orden imperante en nuestras casas… Hablamos del orden de los términos de una serie. Y es que un resultado muy llamativo es que una serie, digamos \sum_{n=0}^\infty a_n convergente que no sea absolutamente convergente (es decir, tiene términos positivos y negativos y cumple que \sum_{n=0}^\infty |a_n|=\infty) si se reordena ¡¡se puede hacer que sume cualquier número!!

Teorema: Sea \sum_{n=0}^\infty a_n una serie tan que \sum_{n=0}^\infty a_n<\infty\sum_{n=0}^\infty |a_n|=\infty. Entonces para todo A\in\mathbb{R} se tiene que existe g(n) tan que \sum_{n=0}^\infty a_{g(n)}=A.

¿Cómo podemos probar un resultado tan raruno? Bueno, veamos la idea, supongamos que A=\pi para fijar ideas. Dado que este mes ha sido el día de \pi esta elección tiene su gracia ;). Ahora sumemos términos positivos de la serie hasta exceder el valor de \pi. Ahora sumemos términos de signo negativo hasta que la suma parcial sea menor que \pi. Ahora volvemos a sumar términos positivos hasta exceder \pi y así sucesivamente. No diréis que no es ingenioso y llamativo.

–Nota 1: Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas del mes de Marzo. Ésta vez ha sido organizado por Hablando de Ciencia