Las olas: Un matemático en la playa.

Ya va haciendo calor y empieza a apetecer el irse a la piscina o a la playa. Sin duda la playa es uno de los sitios menos entendidos por el mundo científico y más visitados por el resto del mundo. El fenómeno al que me refiero cuando digo que no se comprende completamente, claro está, son las olas. En esta entrada estudiaremos diversos casos de olas entre fluidos ilustrando el texto con diversos videos.

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Vamos a empezar hablando de un caso un poco más general que las típicas olas en la superficie del mar. En matemáticas entendemos por interfase entre fluidos a la parte donde estos entran en contacto entre sí. Así una ola es la interfase entre el aire y el agua. Una interfase entre fluidos con distintas propiedades puede exhibir un comportamiento muy complicado, patológico si se quiere, pero que es, pienso yo al menos, visualmente muy bonito. Estoy pensando por ejemplo en singularidades como pueden ser las llamadas singularidades de Kelvin-Helmholtz o Rayleigh-Taylor. Hagamos una parada antes de proseguir con nuestras olas.

Supongamos por un momento que tenemos dos fluidos con densidades distintas, por fijar ideas digamos aceite y agua, de manera que el fluido más denso (el agua) está en el fondo de un recipiente cerrado completamente (un tubo con ambos extremos taponados). El fluido menos denso (el aceite) reposa encima del agua. Supongamos ahora que dicho tubo, y por tanto los fluidos, está en reposo, por ejemplo en una mesa. La pregunta es ¿qué ocurre si, repentinamente, inclinamos dicho recipiente? Veamos unos vídeos con este experimento:

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Lo que vemos en el video es que la interfase “se enrolla” sobre sí misma. Esto es debido a que las velocidades (que son un vector en 3D) tangentes a la interfase tienen signo distinto. Es decir, si lo pensamos en una interfase en 2D (una curva) sería que la velocidad en el fluido que está encima de la interfase “señala hacia la izquierda” mientras que para el fluido que está debajo de la interfase “señala a la derecha”. De ahí esa tendencia a girar y enrollarse.

Supongamos ahora que cambiamos el orden de los fluidos. Ahora tenemos (por ejemplo porque tenemos una barrera entre ambos fluidos) el agua reposando sobre el aceite. ¿Qué ocurre si retiramos rápidamente la barrera entre ambos fluidos? Bueno, pues que el fluido más denso, por la gravedad, caerá hacía abajo, empujando en su camino al fluido menos denso, que subirá hacía arriba. Vale, el caso es que lo que va a ocurrir es sencillo de vaticinar, lo curioso aquí es la manera en que ocurre. Vayamos otro rato a youtube…

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Tras ver estos experimentos y haber pensado un poquito nos damos cuenta de que el que quiera entender bien estos procesos tiene mucho trabajo por delante. Y ahí estamos bregando algunos…

Volvamos a las olas. Hace tan sólo unos días uno de mis jefes (Diego Córdoba) y algunos de mis compañeros (Ángel Castro, Francisco Gancedo y Javier Gómez) y otros colaboradores (el medallista Field Charles Fefferman) hicieron un importante avance. Probaron la existencia de otro tipo de singularidad para el caso de las olas. Bautizaron a esta singularidad como “splash”. Arremanguémonos y veamos un poco las matemáticas que hay debajo de todo esto…

Consideremos una curva en el plano. Esta será nuestra ola inicial. La evolucion de esta ola viene dada por la evolución del fluido bajo ella. Se trata así de un problema de frontera libre, es decir, donde el propio dominio es una incógnita. Así tenemos que, bajo la ola, se verifican las ecuaciones de Euler incompresibles y que además el fluido es irrotacional. Sobre la curva suponemos que tenemos el vacío (esto es un buen modelo porque el agua tiene una densidad mucho mayor a la del aire). Lo que se sabía antes de los trabajos de Diego y compañía eran la existencia local de solución, es decir, que una ola “suave” sigue siendo una ola “suave” al menos un corto tiempo. Esta existencia local es cierta tanto en el caso donde se supone que la profundidad del mar es infinita como en el caso con un lecho marino predeterminado (son resultados de S. Wu y D. Lannes, respectivamente). También se sabe que si las olas “son muy planitas” la existencia es global, es decir, la ola existe para cualquier tiempo (resultados obtenidos independientemente por S. Wu y P. Germain, N. Masmoudi y J. Shatah).

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Los resultados con bandera española en este tema comienzan con un artículo (de A. Castro, D. Córdoba, C. Fefferman, F. Gancedo y M. López) donde se prueba que una ola que empieza siendo un grafo, es decir, se puede escribir como (x,f(x)), deja en un tiempo finito T de ser un grafo. De otra manera, la ola rompe. Matemáticamente esto es que la derivada espacial de la ola se hace infinita en algún punto. El resultado de hace unos días que he mencionado más arriba abunda más en esta línea. Lo que A. Castro, D. Córdoba, C. Fefferman, F. Gancedo y J. Gómez prueban es que existen olas que empiezan siendo curvas suaves y que en un tiempo finito se tocan. Es decir, se ha perdido la propiedad de ser una curva sin autointersecciones. Así es plausible el escenario de comenzar con un grafo, evolucionar hasta perder la propiedad de ser un grafo, es decir, la ola rompe, y, al continuar pasando el tiempo, la curva se acabe autointersecando. Esto es justamente lo que hemos visto en el primer video de esta entrada. Así que podemos concluir dos cosas: una es que algo tan cotidiando como una ola puede ser matemáticamente un problema muy difícil. La segunda cosa que podemos aprender es que nuestro modelo para la dinámica de fluidos funciona en el sentido de que recupera comportamientos reales observados en la naturaleza.

Antes de acabar quiero agradecer a mi compañero Javier Gómez que nos haya dejado el video de sus simulaciones.

—-Esta es nuestra contribución a la edición 2.5 del Carnaval de Matemáticas (http://carnavaldematematicas.bligoo.es/), que está siendo albergado por el blog Juegos Topológicos (http://topologia.wordpress.com/d).

De contar, las integrales y los carnavales (de matemáticas)

(Esta es una entrada par participar en el X Carnaval de Matemáticas (http://carnavaldematematicas.drupalgardens.com/) organizado por La Ciencia de la Mula Francis (o Francis (th)E mule Science’s News, http://francisthemulenews.wordpress.com/))

En esta entrada para nuestro blog (http://ambages.es/blog/) vamos a hablar de las posibles maneras de contar que se nos ocurren y sus aplicaciones a la integración.

Desde los primeros cursos en el Instituto nos hacen que aprendamos unas cuantas fórmulas para el cálculo de volúmenes y áreas de cuerpos o figuras más o menos “corrientes”, pirámides, conos, cuadrados, círculos… Más tarde, ya en Bachiller nos enseñan la genial herramienta que es la Integral de Riemann.

Este concepto es clave, por lo que vamos a gastar unas líneas recordándolo. Supongamos, por facilitar la exposición, que estamos calculando el área bajo una curva y=f(x). Además, f es una curva curvada, nada de una linea recta o una poligonal. Lo que pensamos es, bueno, como sabemos la fórmula del área del rectángulo, vamos a ‘tapar’ el área bajo la curva con rectangulitos de distintos tamaños. Hecho esto observamos que el área calculada y el área que queríamos calcular no coinciden… pero si lo hemos hecho bien estarán muy cerca, si bien la que queremos calcular será un poquito mayor. La idea es ahora tapar ‘un poquito más’ del área buscada, para tener la certeza de que el área bajo la curva está entre dos valores aproximados y que son explícitos. Una vez hecho esto podemos tomar cada vez un mayor número de rectangulos para que nuestra estimación del área sea más precisa. Además argumentamos que en el límite cuando el número de rectángulos se hace infinito las 3 áreas, la buscada, la encontrada ‘por debajo’ y la encontrada ‘por arriba’, coincidirán.

Observamos que esto es válido para las curvas y=f(x) ‘razonables’. Como esta entrada es divulgativa no vamos a entrar en más detalles, pero es un ejercicio divertido (y fácil) tratar de encontrar una función que no se pueda integrar en el sentido de Riemann.

¿Qué os parece?, el cálculo de áreas, un problema central en la historia de la humanidad ya que está ligado a los campos de cultivo y por lo tanto al yantar, resuelto sin fórmulas complicadas ni nada parecido. Es cosa simplemente de ‘ir tapando con rectángulos’.

De esto ya se dio cuenta el genial Arquímedes (el que gritó ¡Eureka! y salió corriendo de la bañera). Así en su ‘Sobre la cuadratura de la parábola’ para calcular el área encerrada por un segmento de parábola lo que hace es tapar dicha superficie con triángulos isósceles de manera que lo que queda fuera de estos triángulos vuelven a ser segmentos de parábola similares al primero y de esta manera recurrente, sumando las áreas d elos infinitos triángulos calcular la superficie encerrada por la parábola inicial. Me gustaría señalar que la serie dada por las áreas de los triángulos es una serie geométrica de razón 1/4 y que Arquímedes la sumó entera. Es la primera vez en la historia (al menos que yo sepa) que se suma COMPLETA una serie geométrica (que es quizá la más fácil de las series), pues si bien en los Elementos de Euclides se da una fórmula para calcular la n-ésima suma parcial para cualquier n esto no es lo mismo que sumar la serie completa, hay una sutil diferencia.

Hasta ahora hemos hablado de integrales, áreas… pero nada de contar como dijimos al principio. Ahora vamos a eso. Supongamos que somos pobres becarios de investigación (lo de pobre es en sentido literal), y que queremos contar nuestro escaso peculio. Tenemos así monedas de 2 euros, de un euro, de 10 céntimos… vamos, de todas las monedas que hay. Una manera de contarlas es ponerse pacientemente, ir una a una e ir sumando. Primero cogemos una de 1 euro, luego una de 2 euros, luego una de 5 céntimos… Eso es lo que hace la integral de Riemann.


Pero esta manera de hacerlo no es la única. También podemos agrupar las monedas según su valor y contar cuantas tenemos en cada grupo. Así juntamos y nos salen 3 monedas de 2 euros por un lado, 10 monedas de 5 céntimos por otro… Ahora sólo hemos de multiplicar el número de monedas por su valor y sumar los resultados para cada grupo. Esta idea, para el cálculo integral, se llama Integral de Lebesgue. Lo que se hace es tapar con rectángulos según la altura de la función. Así en la figura adjunta (sacada de la wikipedia) se ve en azul la manera de integrar de Riemann y en rojo la manera de integrar de Lebesgue. Parece una tontería sin consecuencias, pero tiene unas consecuencias teóricas y prácticas importantisimas, de manera que es la Integral que los matemáticos usamos normalmente. Sin embargo, como es una entrada divulgativa, y no una clase de teoría de la medida lo voy a dejar aquí.